Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

96 Глава 6. Свойства дифференцируемых функций
2.
◦
lim
x→a+0
f(x) = ±∞, lim
x→a+0
g(x) = ±∞;
3.
◦
g
0
6= 0 на (a, b);
4.
◦
существует lim
x→a+0
f
0
(x)
g
0
(x)
∈ R.
Тогда
∃ lim
x→a+0
f(x)
g(x)
= lim
x→a+0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim
x→a+0
f
0
(x)
g
0
(x)
= A ∈ R, ε ∈
∈
0,
1
4
. Выберем точку x
ε
, a < x
ε
< b так, что
f
0
(x)
g
0
(x)
∈ U
ε
(A) при ∀x ∈ (a, x
ε
),
f
0
6= 0 на (a, x
ε
).
При a < x < x
ε
по теореме Коши о среднем
f(x) −f(x
ε
)
g(x) − g(x
ε
)
=
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
. (1)
Выберем теперь δ > 0 столь малым, что при a < x <
< a + δ < x
ε
< b,
f(x) 6= 0, g(x) 6= 0,
f(x
ε
)
f(x)
< ε,
g(x
ε
)
g(x)
< ε.
Тогда (1), вынеся из левой части множитель
f(x)
g(x)
,
можно переписать в виде
f(x)
g(x)
=
1 −
g(x
ε
)
g(x)
1 −
f(x
ε
)
f(x)
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
, a < x < a + δ. (2)
Первый множитель правой части мало отличается от 1:
его значение принадлежит интервалу (1−4ε, 1+2ε). Второй
множитель правой части
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
∈ U
ε
(A). Следовательно, вся
правая часть (2) и равная ей левая
f(x)
g(x)
∈ U
η
(A),
96           Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

     2.◦    lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞;
           x→a+0                   x→a+0
     3.◦   g 0 6= 0   на (a, b);
                                   f 0 (x)
   4.◦ существует lim g 0 (x) ∈ R.
                 x→a+0
Тогда
                      f (x)         f 0 (x)
              ∃ lim         = lim 0         .
                x→a+0 g(x)    x→a+0 g (x)
                                                    f 0 (x)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim g 0 (x) = A ∈ R, ε ∈
                                   x→a+0
     1
∈ 0, 4 . Выберем точку xε , a < xε < b так, что
                   f 0 (x)
                            ∈ Uε (A) при ∀ x ∈ (a, xε ),
                   g 0 (x)
f 0 6= 0 на (a, xε ).
      При a < x < xε по теореме Коши о среднем
                          f (x) − f (xε )     f 0 (ξ)
                                          = 0         .             (1)
                           g(x) − g(xε )      g (ξ)
      Выберем теперь δ > 0 столь малым, что при a < x <
< a + δ < xε < b,
                                      f (xε )           g(xε )
        f (x) 6= 0, g(x) 6= 0,                  < ε,           < ε.
                                      f (x)             g(x)
                                                                 f (x)
   Тогда (1), вынеся из левой части множитель g(x) ,
можно переписать в виде
                               g(x )
                               ε
               f (x)   1 − g(x)    f 0 (ξ)
                     =                     ,   a < x < a + δ.      (2)
               g(x)        f (xε ) g 0 (ξ)
                       1 − f (x)
    Первый множитель правой части мало отличается от 1:
его значение принадлежит интервалу (1−4ε, 1+2ε). Второй
                                   f 0 (ξ)
множитель правой части g 0 (ξ) ∈ Uε (A). Следовательно, вся
правая часть (2) и равная ей левая
                      f (x)
                            ∈ Uη (A),
                      g(x)

Страницы