Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7.1. Монотонность и экстремумы функции 101
ностях точки x
0
(
f(x) − f(x
0
) < 0 в
˚
U(x
0
− 0),
f(x) − f(x
0
) > 0 в
˚
U(x
0
+ 0)
(
> 0 в
˚
U(x
0
− 0),
< 0 в
˚
U(x
0
+ 0)
!
.
Пример.
f(x) =
(
x
2
sin
1
x
при x 6= 0,
0 при x = 0.
Точка x
0
= 0 не является ни точкой экстремума, ни точкой
возрастания, ни точкой убывания.
Упражнение 1. Показать с помощью формулы конеч-
ных приращений Лагранжа, что если f
0
(x
0
) > 0, то x
0
явля-
ется точкой возрастания.
Теорема 4 (достаточные условия точек строгого
экстремума, точек возрастания и точек убывания в
терминах старших производных). Пусть f
0
(x
0
) =
= . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0. Тогда
1.
◦
при четном n = 2k x
0
— точка строгого экстремума
(строгого минимума при f
(2k)
(x
0
) > 0, строгого мак-
симума при f
(2k)
(x
0
) < 0);
2.
◦
при нечетном n = 2k + 1 x
0
— точка возраста-
ния (точка убывания) при f
(2k+1)
(x
0
) > 0 (при
f
(2k+1)
(x
0
) < 0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле Тейлора при x ∈
∈
˚
U(x
0
)
f(x) − f(x
0
) =
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ ε(x − x
0
)(x − x
0
)
n
=
=
"
f
(n)
(x
0
)
n!
+ ε(x − x
0
)
#
(x − x
0
)
n
,
где ε(x − x
0
) → 0 при x → x
0
.
         § 7.1. Монотонность и экстремумы функции                       101
ностях точки x0
(                                             (                         !
  f (x) − f (x0 ) < 0 в Ů (x0 − 0),           >0      в Ů (x0 − 0),
                                                                            .
  f (x) − f (x0 ) > 0 в Ů (x0 + 0)            <0      в Ů (x0 + 0)

   Пример.
                            x2 sin x1
                           (
                                           при x 6= 0,
                 f (x) =
                              0            при x = 0.
Точка x0 = 0 не является ни точкой экстремума, ни точкой
возрастания, ни точкой убывания.
   Упражнение 1. Показать с помощью формулы конеч-
ных приращений Лагранжа, что если f 0 (x0 ) > 0, то x0 явля-
ется точкой возрастания.

   Теорема 4 (достаточные условия точек строгого
экстремума, точек возрастания и точек убывания в
терминах старших производных).                 Пусть f 0 (x0 ) =
= ... = f (n−1)             (n)
                (x0 ) = 0, f (x0 ) 6= 0. Тогда
    ◦
   1. при четном n = 2k x0 — точка строгого экстремума
      (строгого минимума при f (2k) (x0 ) > 0, строгого мак-
      симума при f (2k) (x0 ) < 0);
    ◦
   2. при нечетном n = 2k + 1 x0 — точка возраста-
      ния (точка убывания) при f (2k+1) (x0 ) > 0 (при
      f (2k+1) (x0 ) < 0).
    Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле Тейлора при x ∈
∈ Ů (x0 )
                      f (n) (x0 )
  f (x) − f (x0 ) =               (x − x0 )n + ε(x − x0 )(x − x0 )n =
                          n!
                                    "                         #
                                      f (n) (x0 )
                                 =                + ε(x − x0 ) (x − x0 )n ,
                                          n!

где ε(x − x0 ) → 0 при x → x0 .

Страницы