Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.2. Кривая 115
вой, точку ˆr(a) — началом кривой, а точку ˆr(b) — концом
кривой.
Введем понятие касательной к кривой Γ. Пусть t
0
, t
0
+
+ ∆t ∈ [a, b]. Проведем секущую через точки ˆr(t
0
), ˆr(t
0
+
+∆t), и пусть
~
l(∆t) — единичный вектор секущей, так что
~
l(∆t) = ±
∆~r
|∆~r|
, где ∆~r = ~r(t
0
+ ∆t) −~r(t
0
) (предполагаем,
что |∆~r| > 0) при всех достаточно малых |∆t|.
Определение. Пусть при всех достаточно малых |∆t|
можно выбрать
~
l(∆t) так, что ∃ lim
∆t→0
~
l(∆t) C
~
t. Тогда пря-
мая
~r =~r(t
0
) +
~
tτ, −∞ < τ < +∞
называется касательной к кривой Γ в точке (t
0
, ˆr(t
0
)).
Как мы видим, касательная проходит через точку ˆr(t
0
)
и
~
t — ее направляющий вектор.
Лемма 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}, t
0
∈ (a, b) и
∃~r
0
(t
0
) 6=
~
0. Тогда Γ имеет касательную в точке (t
0
, ˆr(t
0
))
и ˆr
0
(t
0
) коллинеарен касательной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из
∆~r
∆t
→ ~r
0
(t
0
) 6=
~
0 следует,
что ∆~r 6=
~
0 при всех достаточно малых |∆t| и что
∆~r
∆t
→
→ |~r
0
(t
0
)|. Тогда при ∆t → 0
~
l(∆t) B
∆~r
∆t
∆~r
∆t
→
~r
0
(t
0
)
|~r
0
(t
0
)|
C
~
t.
Следовательно, касательная в точке (t
0
, ˆr(t
0
)) существует,
а уравнение ее можно записать в виде
~r =~r(t
0
) +~r
0
(t
0
)τ, −∞ < τ < +∞.
З а м е ч а н и е. Вектор ∆~r при ∆t > 0 напра-
влен от точки ˆr(t
0
) к точке ˆr(t
0
+ ∆t) с б´ольшим значением
параметра. Поэтому можно сказать, что векторы ~r
0
,
~
t на-
правлены в сторону возрастания параметра кривой.
                          § 8.2. Кривая                       115

вой, точку r̂(a) — началом кривой, а точку r̂(b) — концом
кривой.
    Введем понятие касательной к кривой Γ. Пусть t0 , t0 +
+ ∆t ∈ [a, b]. Проведем секущую через точки r̂(t0 ), r̂(t0 +
+ ∆t), и пусть ~l(∆t) — единичный вектор секущей, так что
~l(∆t) = ± ∆~r , где ∆~r = ~r(t0 + ∆t) −~r(t0 ) (предполагаем,
           |∆~r|
что |∆~r| > 0) при всех достаточно малых |∆t|.
     Определение. Пусть при всех достаточно малых |∆t|
можно выбрать ~l(∆t) так, что ∃ lim ~l(∆t) C ~t. Тогда пря-
                                  ∆t→0
мая
              ~r = ~r(t0 ) +~tτ, −∞ < τ < +∞
называется касательной к кривой Γ в точке (t0 , r̂(t0 )).
     Как мы видим, касательная проходит через точку r̂(t0 )
и ~t — ее направляющий вектор.
     Лемма 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}, t0 ∈ (a, b) и
∃~r0 (t0 ) 6= ~0. Тогда Γ имеет касательную в точке (t0 , r̂(t0 ))
и r̂0 (t0 ) коллинеарен касательной.

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Из ∆~
                                     r     0
                                                  6 ~0 следует,
                                    ∆t → ~r (t0 ) =
что ∆~r 6= ~0 при всех достаточно малых |∆t| и что ∆~     r
                                                         ∆t →
→ |~r0 (t0 )|. Тогда при ∆t → 0
                          ∆~r     0
                 ~l(∆t) B ∆t → ~r (t0 ) C ~t.
                          ∆~r  |~r0 (t0 )|
                          ∆t
Следовательно, касательная в точке (t0 , r̂(t0 )) существует,
а уравнение ее можно записать в виде
            ~r = ~r(t0 ) +~r0 (t0 )τ,   −∞ < τ < +∞.
   З а м е ч а н и е. Вектор ∆~r при ∆t > 0 напра-
влен от точки r̂(t0 ) к точке r̂(t0 + ∆t) с бо́льшим значением
параметра. Поэтому можно сказать, что векторы ~r0 , ~t на-
правлены в сторону возрастания параметра кривой.

Страницы