Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

118 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
b) касательная в неособой точке сохраняется;
c) гладкая кривая переходит в гладкую кривую.
§ 8.3. Длина дуги кривой
Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}. Систему точек τ = {t
i
}
i
τ
i=0
называют разбиением отрезка [a, b], если a = t
0
< t
1
<
< t
2
< . . . < t
i
τ
= b.
Соединив точки ˆr(t
i−1
) и ˆr(t
i
) отрезками прямых (i = 1,
2, . . . , i
τ
), получим так называемую вписанную ломаную
(обозначим ее символом Λ
τ
), длина которой
S
Λ
τ
=
i
τ
X
i=1
|~r(t
i
) −~r(t
i−1
)|.
Определение. Длиной кривой Γ называется
S
Γ
B sup
τ
S
Λ
τ
.
Определение. Кривая Γ называется спрямляемой,
если ее длина конечна (т. е. S
Γ
< +∞).
Ясно, что длина кривой и ее спрямляемость не меня-
ются при допустимой замене параметра на кривой.
Упражнение 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}. —
спрямляемая кривая, c ∈ (a, b). Показать, что обе кривые
Γ
0
= {~r(t), a 6 t 6 c}, Γ
00
= {~r(t), c 6 t 6 b}.
спрямляемы и сумма их длин равна длине кривой Γ.
Теорема 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно
дифференцируема. Тогда она спрямляема и длина ее удо-
влетворяет условию
|~r(b) −~r(a)| 6 S
Γ
6 max
a6t6b
|~r
0
(t)|(b − a).
118        Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

b) касательная в неособой точке сохраняется;
c) гладкая кривая переходит в гладкую кривую.

                § 8.3. Длина дуги кривой
   Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}. Систему точек τ = {ti }ii=0
                                                           τ

называют разбиением отрезка [a, b], если a = t0 < t1 <
< t2 < . . . < tiτ = b.
   Соединив точки r̂(ti−1 ) и r̂(ti ) отрезками прямых (i = 1,
2, . . . , iτ ), получим так называемую вписанную ломаную
(обозначим ее символом Λτ ), длина которой
                           iτ
                           X
                   SΛτ =         |~r(ti ) −~r(ti−1 )|.
                           i=1

      Определение. Длиной кривой Γ называется
                          SΓ B sup SΛτ .
                                    τ

   Определение. Кривая Γ называется спрямляемой,
если ее длина конечна (т. е. SΓ < +∞).
   Ясно, что длина кривой и ее спрямляемость не меня-
ются при допустимой замене параметра на кривой.
   Упражнение 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}. —
спрямляемая кривая, c ∈ (a, b). Показать, что обе кривые
        Γ0 = {~r(t), a 6 t 6 c},        Γ00 = {~r(t), c 6 t 6 b}.
спрямляемы и сумма их длин равна длине кривой Γ.

   Теорема 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно
дифференцируема. Тогда она спрямляема и длина ее удо-
влетворяет условию
            |~r(b) −~r(a)| 6 SΓ 6 max |~r0 (t)|(b − a).
                                        a6t6b

Страницы