Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

120 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
Отсюда следует, что ∃s
0
(t
0
) = |~r
0
(t
0
)|. Из неотрица-
тельности s
0
(t) следует, что s(t) возрастает на [a, b].
Следствие 1. Если параметром непрерывно дифферен-
цируемой кривой Γ = {~r(s), 0 6 s 6 S
Γ
} является длина ее
дуги s, то
d~r
ds
= 1.
Геометрический с мысл равенства
d~r
ds
= 1 состоит в
том, что предел отношения
∆s
∆~r
длины дуги к длине стя-
гивающей ее хорды, когда один из концов дуги фиксирован,
а длина дуги стремится к нулю, равен единице.
Следствие 2. Для гладкой ориентированной кривой
можно с помощью допустимой замены параметра перейти
к параметру s, являющемуся переменной длиной дуги, от-
считываемой от начала кривой.
Запишем равенство
d~r
ds
= 1 в виде
dx
ds
,
dy
ds
,
dz
ds
= (cos α, cos β, cos γ),
cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1,
где α, β, γ — углы, образованные вектором
d~r
ds
(a значит, и
касательной) соответственно с осями Ox, Oy, Oz. Отсюда
dx
ds
= cos α,
dy
ds
= cos β,
dz
ds
= cos γ,
в чем и состоит геометрический смысл координат вектора
d~r
ds
.
§ 8.4. Кривизна, главная нормаль,
соприкасающаяся плоскость
Лемма 1. Пусть вектор-функция~r =~r(t) постоянна по
модулю:
|~r(t)| = C при t ∈ U(t
0
).
120         Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

   Отсюда следует, что ∃ s0 (t0 ) = |~r0 (t0 )|. Из неотрица-
тельности s0 (t) следует, что s(t) возрастает на [a, b].
   Следствие 1. Если параметром непрерывно дифферен-
цируемой кривой Γ = {~r(s), 0 6 s 6 SΓ } является длина ее
дуги s, то d~
            r
           ds = 1.
   Геометрический смысл равенства d~   r
                                      ds = 1 состоит в
том, что предел отношения ∆~∆s длины дуги к длине стя-
                             r
гивающей ее хорды, когда один из концов дуги фиксирован,
а длина дуги стремится к нулю, равен единице.

   Следствие 2. Для гладкой ориентированной кривой
можно с помощью допустимой замены параметра перейти
к параметру s, являющемуся переменной длиной дуги, от-
считываемой от начала кривой.
      Запишем равенство d~
                         r
                        ds = 1 в виде
                       
               dx dy dz
                 ,   ,     = (cos α, cos β, cos γ),
               ds ds ds
                   cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
где α, β, γ — углы, образованные вектором d~r
                                           ds (a значит, и
касательной) соответственно с осями Ox, Oy, Oz. Отсюда
            dx          dy           dz
               = cos α,    = cos β,     = cos γ,
            ds          ds           ds
в чем и состоит геометрический смысл координат вектора
d~r .
ds

           § 8.4. Кривизна, главная нормаль,
               соприкасающаяся плоскость
   Лемма 1. Пусть вектор-функция ~r = ~r(t) постоянна по
модулю:
             |~r(t)| = C при t ∈ U (t0 ).

Страницы