Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

122 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
Определение. Величина, обратная кривизне
R =
1
k
6 +∞,
называется радиусом кривизны.
Упражнение 1. Проверить, что в каждой точке
окружности ее радиус кривизны совпадает с радиусом этой
окружности.
Теорема 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} — гладкая
дважды непрерывно дифференцируемая кривая. Тогда в
каждой ее точке существует кривизна.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
~
t =
d~r
ds
=~r
0
dt
ds
=
~r
0
s
0
,
d
2
~r
ds
2
=
d
~
t
ds
=
d
dt
~r
0
s
0
dt
ds
=
s
0
~r
00
− s
00
~r
0
s
03
. (1)
Следовательно, ∃k =
d
2
~r
ds
2
=
|s
0
~r
00
− s
00
~r
0
|
s
03
.
Выведем другое выражение для кривизны k. Поскольку
в силу леммы
d
~
t
ds
⊥
~
t, имеем
k =
d
~
t
ds
=
d
~
t
ds
×
~
t
=
d
2
~r
ds
2
×
d~r
ds
=
=
s
0
~r
00
− s
00
~r
0
s
03
×
~r
0
s
0
=
|~r
00
×~r
0
|
s
03
,
т. е.
k =
|~r
0
×~r
00
|
|~r
0
|
3
=
i j k
x
0
y
0
z
0
x
00
y
00
z
00
p
x
02
+ y
02
+ z
02
3
.
Если k =
d
2
~r
ds
2
6= 0, то можно написать формулу Френе:
d
~
t
ds
= k~n, где |~n| = 1, (
~
t,~n) = 0.
122           Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

   Определение. Величина, обратная кривизне
                         1
                     R = 6 +∞,
                         k
называется радиусом кривизны.
   Упражнение 1. Проверить, что в каждой точке
окружности ее радиус кривизны совпадает с радиусом этой
окружности.
   Теорема 1. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} — гладкая
дважды непрерывно дифференцируемая кривая. Тогда в
каждой ее точке существует кривизна.
   Д о к а з а т е л ь с т в о.
                                           0
                     ~t = d~r = ~r0 dt = ~r ,
                          ds  ds        s0
                                0
             2
           d ~r    d~t    d ~r dt         s0~r00 − s00~r0
                =      =               =                  . (1)
           ds2     ds     dt s0 ds              s03
                            2      |s0~r00 − s00~r0 |
      Следовательно, ∃ k = d ~r2 =         03         .
                                    ds               s
   Выведем другое выражение для кривизны k. Поскольку
             d~t ⊥ ~t, имеем
в силу леммы ds
        d~t   d~t ~   d2~r d~r
k=          =    ×t =     ×      =
        ds    ds      ds2 ds
                               s0~r00 − s00~r0 ~r0   |~r00 ×~r0 |
                            =                 ×    =              ,
                                     s03        s0        s03
т. е.
                                               i j k
                                              x0 y 0 z 0
                       |~r0 ×~r00 |           x00 y 00 z 00
                k=                  = p                        3 .
                           |~r0 |3
                                            x02 + y 02 + z 02
                2
      Если k = d ~r2 6= 0, то можно написать формулу Френе:
                  ds
                d~t
                    = k~n,    где        |~n| = 1,    (~t,~n) = 0.
                ds

Страницы