Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 9
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 9.1. Первообразная и неопределенный
интеграл
Символом ha, bi будем обозначать промежуток, т. е.
либо отрезок [a, b], либо полуинтервал [a, b), либо полуин-
тервал (a, b], либо интервал (a, b). При этом полуинтер-
вал и интервал могут быть как конечными, так и беско-
нечными.
Определение. Пусть функции f и F определены на
ha, bi. Функция F называется первообразной для f на ha, bi,
если F
0
= f на ha, bi. При этом в случае a ∈ ha, bi или b ∈
∈ ha, bi производные F
0
(a), F
0
(b) понимаются как односто-
ронние.
Пусть F — первообразная для f на ha, bi. Тогда F + C,
где C — постоянная, также является первообразной для f
на ha, bi. В самом деле, (F (x) + C)
0
= F
0
(x) = f(x).
Верно и обратное утверждение: если F и Φ — две пер-
вообразные функции f на ha, bi, то Φ(x) = F (x) + C, где C
— постоянная. В самом деле,
(F (x) − Φ(x))
0
= f
0
(x) − f
0
(x) = 0.
Тогда с помощью формулы конечных приращений Ла-
гранжа получаем, что
F (x) − Φ(x) = C.
Определение. Операция перехода от данной функции
к ее первообразной называется (неопределенным) интегри-
рованием. При этом функции f ставится в соответствие
некоторая конкретная произвольно выбранная первообраз-
ная. Эта первообразная называется неопределенным инте-
гралом функции f и обозначается символом
Z
f(x) dx.
            Глава 9
   НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

     § 9.1. Первообразная и неопределенный
                    интеграл
    Символом ha, bi будем обозначать промежуток, т. е.
либо отрезок [a, b], либо полуинтервал [a, b), либо полуин-
тервал (a, b], либо интервал (a, b). При этом полуинтер-
вал и интервал могут быть как конечными, так и беско-
нечными.
    Определение. Пусть функции f и F определены на
ha, bi. Функция F называется первообразной для f на ha, bi,
если F 0 = f на ha, bi. При этом в случае a ∈ ha, bi или b ∈
∈ ha, bi производные F 0 (a), F 0 (b) понимаются как односто-
ронние.
    Пусть F — первообразная для f на ha, bi. Тогда F + C,
где C — постоянная, также является первообразной для f
на ha, bi. В самом деле, (F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x).
    Верно и обратное утверждение: если F и Φ — две пер-
вообразные функции f на ha, bi, то Φ(x) = F (x) + C, где C
— постоянная. В самом деле,
            (F (x) − Φ(x))0 = f 0 (x) − f 0 (x) = 0.
Тогда с помощью формулы конечных приращений Ла-
гранжа получаем, что
                     F (x) − Φ(x) = C.
    Определение. Операция перехода от данной функции
к ее первообразной называется (неопределенным) интегри-
рованием. При этом функции f ставится в соответствие
некоторая конкретная произвольно выбранная первообраз-
ная. Эта первообразная называется неопределенным
                                          Z      инте-
гралом функции f и обозначается символом               f (x) dx.

Страницы