Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

208 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
Пусть теперь квадратичная форма d
2
f(x
(0)
) (3) явля-
ется неопределенной квадратичной ф ормой. Это значит,
что существуют две точки ξ
0
, ξ
00
∈ R
n
такие, что A(ξ
0
) < 0,
A(ξ
00
) > 0. Полагая η
0
=
ξ
0
|ξ
0
|
, η
00
=
ξ
00
|ξ
00
|
, получаем, что
α = A(η
0
) < 0, β = A(η
00
) > 0, |η
0
| = 1, |η
00
| = 1.
Пусть ∆x = tη
0
, |∆x| = t (t > 0). Тогда из (4) имеем
f(x
(0)
+ ∆x) − f(x
(0)
) =
1
2
α + ε(tη
0
)
t
2
6
α
4
t
2
< 0
при всех достаточно малых t = |∆x|.
Если же взять ∆x = tη
00
(t > 0), то аналогично полу-
чаем, что
f(x
(0)
+ ∆x) − f(x
(0)
) =
1
2
β + ε(tη
00
)
t
2
>
β
4
t
2
> 0
при всех достаточно малых t = |∆x|.
Мы видим, что в любой сколь угодно малой окрестно-
сти U(x
(0)
) разность f(x) − f(x
(0)
), x ∈ U(x
(0)
), принимает
как отрицательные, так и положительные значения. Следо-
вательно, точка x
(0)
не является точкой экстремума функ-
ции f.
Следствие (необходимые условия экстремума).
Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема
в некоторой окрестности стационарной точки x
(0)
∈ R
n
.
Если функция f имеет экстремум в точке x
(0)
, то либо
d
2
f(x
(0)
) > 0 ∀dx ∈ R
n
, либо d
2
f(x
(0)
) 6 0 ∀dx ∈ R
n
.
З а м е ч а н и е. Если квадратичная форма
d
2
f(x
(0)
) (3) в стационарной точке x
(0)
функции f является
полуопределенной (т. е. d
2
f(x
(0)
) > 0 либо d
2
f(x
(0)
) 6 0),
но не является определенной, то для изучения вопроса об
экстремуме функции в точке x
(0)
можно использовать ее
разложение по формуле Тейлора более высокой точности,
как это делалось в случае функции одной пе ременной.
208      Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

   Пусть теперь квадратичная форма d2 f (x(0) ) (3) явля-
ется неопределенной квадратичной формой. Это значит,
что существуют две точки ξ 0 , ξ 00 ∈ Rn такие, что A(ξ 0 ) < 0,
                                  0           00
A(ξ 00 ) > 0. Полагая η 0 = |ξξ 0 | , η 00 = |ξξ 00 | , получаем, что

      α = A(η 0 ) < 0,    β = A(η 00 ) > 0,        |η 0 | = 1,   |η 00 | = 1.
Пусть ∆x = tη 0 , |∆x| = t (t > 0). Тогда из (4) имеем
                                           
       (0)              (0)     1         0       α
   f (x + ∆x) − f (x ) =          α + ε(tη ) t2 6 t2 < 0
                                2                 4
при всех достаточно малых t = |∆x|.
   Если же взять ∆x = tη 00 (t > 0), то аналогично полу-
чаем, что
                                        
       (0)           (0)    1         00     β
   f (x + ∆x) − f (x ) =      β + ε(tη ) t2 > t2 > 0
                            2                 4
при всех достаточно малых t = |∆x|.
   Мы видим, что в любой сколь угодно малой окрестно-
сти U (x(0) ) разность f (x) − f (x(0) ), x ∈ U (x(0) ), принимает
как отрицательные, так и положительные значения. Следо-
вательно, точка x(0) не является точкой экстремума функ-
ции f .
     Следствие (необходимые условия экстремума).
Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема
в некоторой окрестности стационарной точки x(0) ∈ Rn .
Если функция f имеет экстремум в точке x(0) , то либо
d2 f (x(0) ) > 0 ∀ dx ∈ Rn , либо d2 f (x(0) ) 6 0 ∀ dx ∈ Rn .
   З а м е ч а н и е. Если квадратичная форма
d2 f (x(0) )
         (3) в стационарной точке x(0) функции f является
полуопределенной (т. е. d2 f (x(0) ) > 0 либо d2 f (x(0) ) 6 0),
но не является определенной, то для изучения вопроса об
экстремуме функции в точке x(0) можно использовать ее
разложение по формуле Тейлора более высокой точности,
как это делалось в случае функции одной переменной.

Страницы