Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13.1. Локальный экстремум 209
Для выяснения, является или нет данная квадратичная
форма положительно (отрицательно) определенной, часто
используют
Критерий Сильвестра положительной определенности
квадратичной формы.
Квадратичная форма (1) положительно определённа то-
гда и только тогда, когда
∆
1
= a
11
> 0, ∆
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
> 0, . . . ,
∆
n
=
a
11
. . . a
1n
. . . . . . . . .
a
n1
. . . a
nn
> 0.
Очевидно, что квадратичная форма A(ξ) (1) от-
рицательно определённа тогда и только тогда, когда
квадратичная форма −A(ξ) положительно определённа.
Следовательно, критерием отрицательной определенности
формы (1) является условие
(−1)
k
∆
k
> 0 ∀k = 1, 2, . . . , n.
Сформулируем отдельно случай теоремы 3, относя-
щийся к функции двух переменных.
Теорема 4. Пусть функция f двух переменных диффе-
ренцируема в некоторой окрестности стационарной точки
(x
0
, y
0
), так что
f
0
x
(x
0
, y
0
) = f
0
y
(x
0
, y
0
) = 0.
а) Если в (x
0
, y
0
)
f
00
xx
f
00
yy
− f
00
xy
2
> 0,
то точка (x
0
, y
0
) является точкой строгого экстремума
(строгого минимума при f
00
xx
(x
0
, y
0
) > 0, строгого макси-
                 § 13.1. Локальный экстремум                       209

   Для выяснения, является или нет данная квадратичная
форма положительно (отрицательно) определенной, часто
используют

Критерий Сильвестра положительной определенности
квадратичной формы.
   Квадратичная форма (1) положительно определённа то-
гда и только тогда, когда
                                      a11 a12
          ∆1 = a11 > 0,       ∆2 =            > 0,          ...,
                                      a21 a22
                            a11 . . . a1n
                       ∆n = . . . . . . . . . > 0.
                            an1 . . . ann
   Очевидно, что квадратичная форма A(ξ) (1) от-
рицательно определённа тогда и только тогда, когда
квадратичная форма −A(ξ) положительно определённа.
Следовательно, критерием отрицательной определенности
формы (1) является условие
                (−1)k ∆k > 0       ∀ k = 1, 2, . . . , n.
  Сформулируем отдельно случай теоремы 3, относя-
щийся к функции двух переменных.
     Теорема 4. Пусть функция f двух переменных диффе-
ренцируема в некоторой окрестности стационарной точки
(x0 , y0 ), так что
                   fx0 (x0 , y0 ) = fy0 (x0 , y0 ) = 0.
а) Если в (x0 , y0 )
                           00 00     00  2
                          fxx fyy − fxy > 0,
то точка (x0 , y0 ) является точкой строгого экстремума
(строгого минимума при fxx  00 (x , y ) > 0, строгого макси-
                                 0 0

Страницы