Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13.2. Условный локальный экстремум 211
Все производные первого и второго порядка этих функций
в точке (0, 0) равны нулю, однако в этой точке функция f
имеет строгий минимум, а функция g не имеет экстремума.
§ 13.2. Условный локальный экстремум
Пусть на открытом множестве G ⊂ R
n
заданы функции
f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
(1 6 m < n). Уравнения
{ϕ
j
(x) = 0}
m
j=1
(1)
будем называть уравнениями связи. Пусть E B {x: x ∈ G,
ϕ
j
(x) = 0, 1 6 j 6 m}.
Определение 1. Точка x
(0)
∈ E называется точкой
условного минимума [строго условного минимума] функ-
ции f при связях (1), если ∃δ > 0, при котором
f(x
(0)
) 6 f(x) [f(x
(0)
) < f(x)]
для ∀x ∈ E ∩
˚
U
δ
(x
(0)
).
Аналогично опреде ляется точка условного максимума
(строго условного максимума), условного экстремума
(строго условного экстремума).
З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо терми-
на «условный» употребляется также термин «относитель-
ный». Ради краткости вместо «при связях (1)» будем пи-
сать «при (1)».
Пример 1. G = R
2
, f(x
1
, x
2
) = x
2
1
+ x
2
2
, m = 1,
ϕ(x
1
, x
2
) = x
1
+x
2
−1. Найти условный экстремум функции
f при x
1
+ x
2
− 1 = 0.
На прямой ϕ = 0 f (x
1
, x
2
) = f(x
1
, 1−x
1
) = 2x
2
1
−2x
1
+1 =
= 2
x
1
−
1
2
2
+
1
2
. Следовательно, точка
1
2
;
1
2
является
точкой строго условного минимума.
В дальнейшем будем считать, что f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
—
непрерывно дифференцируемы на G, rang
∂ϕ
j
∂x
i
= m
           § 13.2. Условный локальный экстремум              211

Все производные первого и второго порядка этих функций
в точке (0, 0) равны нулю, однако в этой точке функция f
имеет строгий минимум, а функция g не имеет экстремума.

     § 13.2. Условный локальный экстремум
     Пусть на открытом множестве G ⊂ Rn заданы функции
f , ϕ1 , . . . , ϕm (1 6 m < n). Уравнения
                         {ϕj (x) = 0}m
                                     j=1                     (1)
будем называть уравнениями связи. Пусть E B {x: x ∈ G,
ϕj (x) = 0, 1 6 j 6 m}.
   Определение 1. Точка x(0) ∈ E называется точкой
условного минимума [строго условного минимума] функ-
ции f при связях (1), если ∃δ > 0, при котором
               f (x(0) ) 6 f (x)   [f (x(0) ) < f (x)]
для ∀x ∈ E ∩ Ůδ (x(0) ).
   Аналогично определяется точка условного максимума
(строго условного максимума), условного экстремума
(строго условного экстремума).
   З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо терми-
на «условный» употребляется также термин «относитель-
ный». Ради краткости вместо «при связях (1)» будем пи-
сать «при (1)».
   Пример 1. G = R2 , f (x1 , x2 ) = x21 + x22 , m = 1,
ϕ(x1 , x2 ) = x1 +x2 −1. Найти условный экстремум функции
f при x1 + x2 − 1 = 0.
   На прямой ϕ = 0 f (x1 , x2 ) = f (x1 , 1−x1 ) = 2x21 −2x1 +1 =
             2                                     
= 2 x1 − 21 + 12 . Следовательно, точка 12 ; 12 является
точкой строго условного минимума.
   В дальнейшем будем считать, что f, ϕ1 , . . . , ϕm —
                                                    ∂ϕ
непрерывно дифференцируемы на G, rang ∂xj                   = m
                                                         i

Страницы