Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

210 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
мума при f
00
xx
(x
0
, y
0
) < 0).
б) Если в (x
0
, y
0
)
f
00
xx
f
00
yy
− f
00
xy
2
< 0,
то экстремума в точке (x
0
, y
0
) нет.
в) Если в (x
0
, y
0
)
f
00
xx
f
00
yy
− f
00
xy
2
= 0,
то экстремум в точке (x
0
, y
0
) может быть, а может и не
быть.
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Следует из критерия Силь-
вестра, т. к. ∆
1
> 0 (∆
1
< 0), ∆
2
> 0.
б) Подставляя во второй дифференциал
d
2
f(x
0
, y
0
) =
= f
00
xx
(x
0
, y
0
) dx
2
+ 2f
00
xy
(x
0
, y
0
) dx dy + f
00
yy
(x
0
, y
0
) dy
2
(5)
dy = t dx (если f
00
xx
(x
0
, y
0
) 6= 0) или dx = t dy (если
f
00
yy
(x
0
, y
0
) 6= 0) и вынося (dx)
2
(или (dy)
2
) за скобки, по-
лучаем в скобках квадратный трехчлен относительно t с
отрицательным дискриминантом. Поэтому его значение
может быть при различных t как положительным, так и
отрицательным. Следовательно, квадратичная форма (5)
является неопределенной.
Если же f
00
xx
= f
00
yy
= 0, то f
00
xy
6= 0 и
d
2
f(x
0
, y
0
)
dy=t dx
= 2f
00
xy
(x
0
, y
0
)t dx
2
принимает различные по знаку значения при различных по
знаку значениях t
1
= 1, t
2
= −1. Так что и в этом случае
квадратичная форма (5) является неопределенной.
В силу теоремы 3 получаем, что в точке (x
0
, y
0
) нет
экстремума.
в) Достаточно рассмотреть два примера функций, опре-
деленных в окрестности точки (x
0
, y
0
) = (0, 0) формулами
f(x, y) = x
4
y
4
, g(x, y) = x
4
− y
4
.
210      Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
           00 (x , y ) < 0).
мума при fxx     0 0
б) Если в (x0 , y0 )
                               00 00     00     2
                              fxx fyy − fxy < 0,
то экстремума в точке (x0 , y0 ) нет.
в) Если в (x0 , y0 )
                               00 00     00     2
                              fxx fyy − fxy = 0,
то экстремум в точке (x0 , y0 ) может быть, а может и не
быть.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Следует из критерия Силь-
вестра, т. к. ∆1 > 0 (∆1 < 0), ∆2 > 0.
   б) Подставляя во второй дифференциал
d2 f (x0 , y0 ) =
      00                    00                     00
   = fxx (x0 , y0 ) dx2 + 2fxy (x0 , y0 ) dx dy + fyy (x0 , y0 ) dy 2   (5)
dy = t dx (если             00 (x , y )
                           fxx     6= 0) или dx = t dy (если
                                 0 0
 00 (x , y ) 6= 0) и вынося (dx)2 (или (dy)2 ) за скобки, по-
fyy   0 0
лучаем в скобках квадратный трехчлен относительно t с
отрицательным дискриминантом. Поэтому его значение
может быть при различных t как положительным, так и
отрицательным. Следовательно, квадратичная форма (5)
является неопределенной.
     Если же fxx00 = f 00 = 0, то f 00 6= 0 и
                      yy            xy

                                                00
                d2 f (x0 , y0 )             = 2fxy (x0 , y0 )t dx2
                                  dy=t dx
принимает различные по знаку значения при различных по
знаку значениях t1 = 1, t2 = −1. Так что и в этом случае
квадратичная форма (5) является неопределенной.
   В силу теоремы 3 получаем, что в точке (x0 , y0 ) нет
экстремума.
   в) Достаточно рассмотреть два примера функций, опре-
деленных в окрестности точки (x0 , y0 ) = (0, 0) формулами
                    f (x, y) = x4 y 4 ,     g(x, y) = x4 − y 4 .

Страницы