Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

212 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
на G, x
(0)
∈ E,
∂(ϕ
1
, . . . , ϕ
m
)
∂(x
1
, . . . , x
m
)
x
(0)
6≡ 0. Тогда по тео-
реме о системе неявных функций в некоторой окрестности
U(x
(0)
) (1) ⇐⇒ (1
0
), где
{x
j
= µ
j
(x
m+1
, . . . , x
n
)}
m
j=1
, (1
0
)
причем µ
j
— непрерывно дифференцируемы,
{ϕ
j
(µ
1
(x
m+1
, . . . , x
n
), µ
2
(), . . . ,
µ
m
(), x
m+1
, . . . , x
n
) = 0}
m
j=1
. (2)
Введем функцию
Φ(x
m+1
, . . . , x
n
) B
B f (µ
1
(x
m+1
, . . . , x
n
), µ
2
(), . . . , µ
m
(), x
m+1
, . . . , x
n
).
Очевидно, что x
(0)
тогда и только тогда является точ-
кой условного э кстремума f при (1), когда (x
(0)
m+1
, . . . , x
(0)
n
)
является точкой локального экстремума функции Φ. Та-
ким образом, вопрос нахождения условного экстремума све-
ден к вопросу нахождения локального экстремума (который
называют иногда абсолютным экстремумом, подчеркивая
его отличие от условного экстремума). Однако такой под-
ход малоэффективен в связи с трудностями получения в яв-
ном виде функций µ
1
, . . . , µ
m
и построения суперпозиции.
Отметим эквивалентность систем линейных уравнений
относительно дифференциалов: (3) ⇐⇒ (3
0
), где
(
n
X
i=1
∂ϕ
j
∂x
i
dx
i
= 0
)
m
j=1
, (3)
(
dx
j
=
n
X
i=m+1
∂µ
j
∂x
i
dx
i
)
m
j=1
, (3
0
)
с коэффициентами, взятыми в точке x
(0)
. В самом деле, при
любых фиксированных dx
m+1
, . . . , dx
n
решение (3) един-
ственно, так как ее определитель отличен от нуля; реше-
ние (3
0
) также, очевидно, единственно. В то же время реше-
212      Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

                          ∂(ϕ , . . . , ϕ )
на G, x(0) ∈ E, ∂(x1 , . . . , x m)      6≡ 0. Тогда по тео-
                         1      m
                                    x(0)
реме о системе неявных функций в некоторой окрестности
U (x(0) ) (1) ⇐⇒ (10 ), где
                     {xj = µj (xm+1 , . . . , xn )}m
                                                   j=1 ,                   (10 )
причем µj — непрерывно дифференцируемы,
{ϕj (µ1 (xm+1 , . . . , xn ), µ2 (), . . . ,
                                    µm (), xm+1 , . . . , xn ) = 0}m
                                                                   j=1 . (2)
Введем функцию
Φ(xm+1 , . . . , xn ) B
        B f (µ1 (xm+1 , . . . , xn ), µ2 (), . . . , µm (), xm+1 , . . . , xn ).
Очевидно, что x(0) тогда и только тогда является точ-
                                                (0)        (0)
кой условного экстремума f при (1), когда (xm+1 , . . . , xn )
является точкой локального экстремума функции Φ. Та-
ким образом, вопрос нахождения условного экстремума све-
ден к вопросу нахождения локального экстремума (который
называют иногда абсолютным экстремумом, подчеркивая
его отличие от условного экстремума). Однако такой под-
ход малоэффективен в связи с трудностями получения в яв-
ном виде функций µ1 , . . . , µm и построения суперпозиции.
    Отметим эквивалентность систем линейных уравнений
относительно дифференциалов: (3) ⇐⇒ (30 ), где
                  ( n                 )m
                    X ∂ϕj
                               dxi = 0      ,               (3)
                        ∂xi
                    i=1                 j=1
                (            n
                                         )m
                          X ∂µj
                  dxj =              dxi      ,            (30 )
                                 ∂xi
                                 i=m+1              j=1
с коэффициентами, взятыми в точке x(0) . В самом деле, при
любых фиксированных dxm+1 , . . . , dxn решение (3) един-
ственно, так как ее определитель отличен от нуля; реше-
ние (30 ) также, очевидно, единственно. В то же время реше-

Страницы