Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

214 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему из (m+1)-
го уравнения
n
P
i=1
∂ϕ
j
∂x
i
dx
i
= 0
m
j=1
n
P
i=1
∂f
∂x
i
dx
i
= 0
. (3
∗
)
Имеем
[x
(0)
— условно стационарная точка f при (1)] ⇐⇒
⇐⇒ [
df = 0] ⇐⇒ [(3) ⇒ (df = 0)] ⇐⇒
⇐⇒ [rang (3) = rang (3
0
) = m] ⇐⇒
⇐⇒
∃λ
1
, . . . , λ
m
:
∂f
∂x
1
, . . . ,
∂f
∂x
n
=
=
m
X
j=1
λ
j
∂ϕ
j
∂x
1
, . . . ,
∂ϕ
j
∂x
n

⇔
grad f =
m
X
j=1
λ
j
grad ϕ
⇔
⇔ [grad L = 0] ⇔ [dL = 0].
Следствие 1 (необходимое условие условного экс-
тремума). Точка x
(0)
условного экстремума f при (1)
является стационарной точкой функции Лагранжа L.
Достаточные условия условного э кстремума. До-
полнительно будем считать, что f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности
точки x
(0)
, где x
(0)
— условно стационарная точка f при (1),
т. е. стационарная точка функции Лагранжа из E. Пусть
δ > 0 достаточно мало,
x ∈ E ∩ U
δ
(x
(0)
) ⇒ Φ(x
m+1
, . . . , x
n
) = f(x)|
(1
0
)
=
=
f(x) −
n
X
j=1
λ
j
ϕ
j
(x)
(1
0
)
C L(x)
(1
0
)
.
214     Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему из (m+1)-
го уравнения
                    n                m 
                       P ∂ϕj
                           ∂x  dxi = 0     
                                           
                                           
                             i
                      i=1
                         n
                                       j=1   .           (3∗ )
                         P   ∂f
                            ∂x dxi = 0
                                           
                                           
                                           
                        i=1    i

Имеем
[x(0) — условно стационарная точка f при (1)] ⇐⇒
                   
            ⇐⇒ [df = 0] ⇐⇒ [(3) ⇒ (df = 0)] ⇐⇒
           ⇐⇒ [rang (3) = rang (30 ) = m] ⇐⇒
                                             
                                ∂f         ∂f
        ⇐⇒ ∃λ1 , . . . , λm :       , ...,       =
                                ∂x1        ∂xn
   m                                    m          
   X      ∂ϕj        ∂ϕj                   X
 =   λj       , ...,          ⇔ grad f =      λj grad ϕ ⇔
          ∂x1        ∂xn
      j=1                                        j=1
                                         ⇔ [grad L = 0] ⇔ [dL = 0].

   Следствие 1 (необходимое условие условного экс-
тремума). Точка x(0) условного экстремума f при (1)
является стационарной точкой функции Лагранжа L.


Достаточные условия условного экстремума. До-
полнительно будем считать, что f , ϕ1 , . . . , ϕm дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности
точки x(0) , где x(0) — условно стационарная точка f при (1),
т. е. стационарная точка функции Лагранжа из E. Пусть
δ > 0 достаточно мало,
x ∈ E ∩ Uδ (x(0) ) ⇒ Φ(xm+1 , . . . , xn ) = f (x)| (10 ) =
                                               
                                  X n
                    = f (x) −         λj ϕj (x)         C L(x)           .
                                   j=1             (10 )           (10 )

Страницы