Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

216 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
План исследования функции на условный экстре-
мум методом множ ителей Лагранжа. Пусть функ-
ции f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
(1 6 m < n) непрерывно дифференци-
руемы на открытом множестве G ⊂ R
n
, rang
∂ϕ
j
∂x
i
= m на
G. Для нахождения точек условного экстремума функции
f при связях (1) поступают так:
1) Составляют функцию Лагранжа:
L(x) B f(x) −
m
X
1
λ
j
ϕ
j
(x).
2) Находят стационарные точки функции Лагранжа, ле-
жащие на E (только они могут являться точками условного
экстремума), т. е. решают систему n + m уравнений
n
∂
∂x
i
L(x) = 0
o
n
1
{ϕ
j
(x) = 0}
m
1
относительно n + m неизвестных x
1
, x
2
, . . . , x
n
, λ
1
, λ
2
,
. . . , λ
m
. В каждой из этих точек множители Лагранжа
находятся однозначно.
Отметим, что система {ϕ
j
(x) = 0}
m
1
формально может
быть записана в виде
n
∂
∂λ
j
L(x) = 0
o
m
1
.
3) Для каждой стационарной точки x
(0)
функции Ла-
гранжа, в окрестности которой f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
дважды не-
прерывно дифференцируемы, составляют d
2
L и, если по-
требуется,
d
2
L. Применяют теорему 2 для выяснения типа
условного экстремума.
4) Находят значения функции f в точках условного экс-
тремума.
Пример 2. Найдем точки условного экстремума функ-
ции f(x, y, z) = xyz, если x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x + y + z = 0.
216    Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

План исследования функции на условный экстре-
мум методом множителей Лагранжа. Пусть функ-
ции f , ϕ1 , . . . , ϕm (1 6 m < n) непрерывно дифференци-
                                                       ∂ϕ
руемы на открытом множестве G ⊂ Rn , rang ∂xj = m на
                                            i
G. Для нахождения точек условного экстремума функции
f при связях (1) поступают так:
   1) Составляют функцию Лагранжа:
                                  m
                                  X
                 L(x) B f (x) −           λj ϕj (x).
                                  1

   2) Находят стационарные точки функции Лагранжа, ле-
жащие на E (только они могут являться точками условного
экстремума), т. е. решают систему n + m уравнений
                     n             on 
                        ∂ L(x) = 0 
                       ∂xi          1
                       {ϕj (x) = 0}m 1

относительно n + m неизвестных x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , λ2 ,
. . . , λm . В каждой из этих точек множители Лагранжа
находятся однозначно.
       Отметим, что система           0}m
                            {ϕj (x) = o 1 формально может
                       n                     m
                          ∂
быть записана в виде     ∂λj L(x) = 0        1
                                                 .
   3) Для каждой стационарной точки x(0) функции Ла-
гранжа, в окрестности которой f , ϕ1 , . . . , ϕm дважды не-
прерывно дифференцируемы, составляют d2 L и, если по-
            
требуется, d2 L. Применяют теорему 2 для выяснения типа
условного экстремума.
   4) Находят значения функции f в точках условного экс-
тремума.
   Пример 2. Найдем точки условного экстремума функ-
ции f (x, y, z) = xyz, если x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0.

Страницы