Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13.2. Условный локальный экстремум 217
Здесь ϕ
1
(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
−1, ϕ
2
(x, y, z) = x + y + z.
В качестве G можно взять, например,
G =
(x, y, z) : |ϕ
j
(x, y, z)| <
1
2
, j = 1, 2
.
Для функции Лагранжа
L(x, y, z) = xyz − λ
1
(x
2
+ y
2
+ z
2
− 1) − λ
2
(x + y + z)
найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям
связи, решив систему уравнений
L
0
x
≡ yz − 2λ
1
x − λ
2
= 0
L
0
y
≡ xz −2λ
1
y − λ
2
= 0
L
0
z
≡ xy − 2λ
1
z − λ
2
= 0
x
2
+ y
2
+ z
2
− 1 = 0
x + y + z = 0
. (4)
Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим
yz + xz + xy − 3λ
2
= 0. (5)
Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)
2
−(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 0 − 1, и
из (5) получаем λ
2
= −
1
6
.
Разность первых двух уравнений (4) представляется в
виде (y − x)(z + 2λ
1
) = 0. Аналог ично получаем еще два
уравнения:
(z − y)(x + 2λ
1
) = 0, (x − z)(y + 2λ
1
) = 0.
Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух
уравнений из (4)), что
(y − x)(z − y)(x − z) = 0.
Рассмотрим для определенности лишь случай y −x = 0.
Остальные два рассматриваются аналогично.
           § 13.2. Условный локальный экстремум                  217

   Здесь ϕ1 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1, ϕ2 (x, y, z) = x + y + z.
В качестве G можно взять, например,
                                                         
                                           1
       G = (x, y, z) : |ϕj (x, y, z)| < , j = 1, 2 .
                                           2
   Для функции Лагранжа
   L(x, y, z) = xyz − λ1 (x2 + y 2 + z 2 − 1) − λ2 (x + y + z)
найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям
связи, решив систему уравнений
               L0x ≡ yz − 2λ1 x − λ2 = 0 
                                         
                                         
               L0y ≡ xz − 2λ1 y − λ2 = 0 
                                         
                                         
                                         
                                         
                 0
                Lz ≡ xy − 2λ1 z − λ2 = 0 .         (4)
                                         
                     2    2    2
                    x + y + z − 1 = 0
                                         
                                         
                                         
                                         
                                         
                           x+y+z =0
Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим
                     yz + xz + xy − 3λ2 = 0.                     (5)
Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)2 − (x2 + y 2 + z 2 ) = 0 − 1, и
из (5) получаем λ2 = − 16 .
   Разность первых двух уравнений (4) представляется в
виде (y − x)(z + 2λ1 ) = 0. Аналогично получаем еще два
уравнения:
         (z − y)(x + 2λ1 ) = 0,    (x − z)(y + 2λ1 ) = 0.
Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух
уравнений из (4)), что
                    (y − x)(z − y)(x − z) = 0.

   Рассмотрим для определенности лишь случай y − x = 0.
Остальные два рассматриваются аналогично.

Страницы