Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13.2. Условный локальный экстремум 215
Вычислим dΦ, d
2
Φ в точке (x
(0)
m+1
, . . . , x
(0)
n
), считая x
m+1
,
. . . , x
n
независимыми переменными:
dΦ =
n
X
i=1
∂L
∂x
i
dx
i
(1
0
)
, dΦ(x
(0)
m+1
, . . . , x
(0)
n
) = dL(x
(0)
) = 0,
d
2
Φ(x
(0)
m+1
, . . . , x
(0)
n
) =
n
X
i,k=1
∂
2
L(x
(0)
)
∂x
i
∂x
k
dx
i
dx
k
(1
0
)
+
+
n
X
i=1
∂L(x
(0)
)
∂x
i
d
2
x
i
(1
0
)
=
n
X
i,k
∂
2
L(x
(0)
)
∂x
i
∂x
k
dx
i
dx
k
C
d
2
L(x
(0)
).
Итак, достаточные условия условного экстремума, ко-
торые, являясь достаточными условиями локального экс-
тремума функции Φ, формулируются в терминах свойств
квадратичной формы d
2
Φ, можно переформулировать в
терминах квадратичной формы:
d
2
L B
n
X
i,k=1
∂
2
L
∂x
i
∂x
k
dx
i
dx
k
.
Теорема 3 (достаточные условия строгого услов-
ного экстремума). Пусть f, ϕ
1
, . . . , ϕ
m
дважды непре-
рывно дифференцируемы в некоторой окрестности стацио-
нарной точки x
(0)
функции Лагранжа L.
Тогда:
1.
◦
d
2
L > 0[< 0] при |dx| > 0 ⇒ x
(0)
— точка строгого
условного минимума (максимума) f при (1);
2.
◦
d
2
L > 0 (< 0) при |
dx| > 0 ⇒ x
(0)
— точка строгого
условного минимума (максимума) f при (1);
3.
◦
d
2
L — неопределенная ква дратичная ф орма ⇒ ни-
чего сказать нельзя;
4.
◦
d
2
L — неопределенная квадратичная форма ⇒ в
точке x
(0)
нет условного экстремума.
                   § 13.2. Условный локальный экстремум                               215

                                                           (0)      (0)
Вычислим dΦ, d2 Φ в точке (xm+1 , . . . , xn ), считая xm+1 ,
. . . , xn независимыми переменными:
         n
         X ∂L                                        (0)
    dΦ =       dxi                        , dΦ(xm+1 , . . . , x(0)       (0)
                                                               n ) = dL(x ) = 0,
           ∂xi                    (10 )
               i=1
                                      n
    2      (0)
                                      X ∂ 2 L(x(0) )
d       Φ(xm+1 ,     ...,   x(0)
                             n )    =                dxi dxk                      +
                                         ∂xi ∂xk                          (10 )
                                          i,k=1
         n
         X ∂L(x(0) )
                                                 n
                                                 X ∂ 2 L(x(0) )         
    +                       d2 xi            =                  dxi dxk C d2 L(x(0) ).
                   ∂xi               (10 )          ∂xi ∂xk
         i=1                                      i,k

   Итак, достаточные условия условного экстремума, ко-
торые, являясь достаточными условиями локального экс-
тремума функции Φ, формулируются в терминах свойств
квадратичной формы d2 Φ, можно переформулировать в
терминах квадратичной формы:
                                            n
                                             X        ∂2L  
                              2
                             d LB                            dxi dxk .
                                                     ∂xi ∂xk
                                           i,k=1


   Теорема 3 (достаточные условия строгого услов-
ного экстремума). Пусть f , ϕ1 , . . . , ϕm дважды непре-
рывно дифференцируемы в некоторой окрестности стацио-
нарной точки x(0) функции Лагранжа L.
   Тогда:
   1.◦ d2 L > 0[< 0] при |dx| > 0 ⇒ x(0) — точка строгого
       условного минимума (максимума) f при (1);
                                                
         2.◦ d2 L > 0 (< 0) при |dx| > 0 ⇒ x(0) — точка строгого
             условного минимума (максимума) f при (1);
           ◦
         3. d2 L — неопределенная квадратичная форма ⇒ ни-
             чего сказать нельзя;
               
         4.◦ d2 L — неопределенная квадратичная форма ⇒ в
             точке x(0) нет условного экстремума.

Страницы