Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 14
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 14.1. Определенный интеграл
Определение 1. Разбиением τ отрезка [a, b] называ-
ется произвольная конечная система его точек τ = {x
i
}
i
τ
i=0
такая, что a = x
0
< x
1
< . . . < x
i
τ
−1
< x
i
τ
= b.
Каждый из отрезков [x
i−1
, x
i
] называется отрезком раз-
биения τ, ∆x
i
B x
i
−x
i−1
. Величина |τ| B max
16i6i
τ
∆x
i
назы-
вается мел костью разбиения τ.
Будем говорить, что разбиение τ
0
следует за разбие-
нием τ или является измельчением разбиения τ, и писать
τ
0
τ , если каждая точка разбиения τ является и точкой
разбиения τ
0
.
Разбиения данного отрезка обладают следующими свой-
ствами:
1.
◦
Если τ
1
τ
2
, τ
2
τ
3
, то τ
1
τ
3
.
2.
◦
Для любых τ
1
, τ
2
∃τ : τ τ
1
, τ τ
2
.
Первое свойство очевидно. Для доказательства второго
достаточно в качестве τ взять разбиение, содержащее все
точки разбиения τ
1
и все точки разбиения τ
2
.
x
y
0
a
ξ
i
x
i−1
x
i
b
Рис. 14.1
Пусть теперь на отрезке
[a, b] определена (число-
вая) функция f и τ =
= {x
i
}
i
τ
0
— разбиение
этого отрезка. Отметим
в каждом отрезке раз-
биения [x
i−1
, x
i
] какую-
либо точку ξ
i
и составим
сумму
S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
) =
i
τ
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
,
             Глава 14
     ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

           § 14.1. Определенный интеграл
   Определение 1. Разбиением τ отрезка [a, b] называ-
ется произвольная конечная система его точек τ = {xi }ii=0
                                                         τ

такая, что a = x0 < x1 < . . . < xiτ −1 < xiτ = b.
   Каждый из отрезков [xi−1 , xi ] называется отрезком раз-
биения τ , ∆xi B xi − xi−1 . Величина |τ | B max ∆xi назы-
                                                16i6iτ
вается мелкостью разбиения τ .
     Будем говорить, что разбиение τ 0 следует за разбие-
нием τ или является измельчением разбиения τ , и писать
τ 0  τ , если каждая точка разбиения τ является и точкой
разбиения τ 0 .
     Разбиения данного отрезка обладают следующими свой-
ствами:
     1.◦ Если τ1  τ2 , τ2  τ3 , то τ1  τ3 .
     2.◦ Для любых τ1 , τ2 ∃ τ : τ  τ1 , τ  τ2 .
     Первое свойство очевидно. Для доказательства второго
достаточно в качестве τ взять разбиение, содержащее все
точки разбиения τ1 и все точки разбиения τ2 .
Пусть теперь на отрезке y
[a, b] определена (число-
вая) функция f и τ =
= {xi }i0τ — разбиение
этого отрезка. Отметим
в каждом отрезке раз-
биения [xi−1 , xi ] какую-                                ξi
либо точку ξi и составим 0                   a         xi−1 xi b x
сумму                                             Рис. 14.1
                                             Xiτ
                Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ) =     f (ξi )∆xi ,
                                     i=1

Страницы