Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.2. Критерий интегрируемости 221
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f неограничена
на отрезке [a, b]. Для произвольного разбиения τ отрезка
представим сумму Римана интегрируемой функции f в
виде
S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
) = f(ξ
k
)∆x
k
+
X
16i6i
τ
i6=k
f(ξ
i
)∆x
i
, (1)
где [x
k−1
, x
k
] — такой отрезок разбиения τ , на котором f не-
ограничена. Выберем каким-либо образом все отмеченные
точки ξ
i
, кроме одной из них с номером k. Тогда правую
часть (1) можно сделать сколь угодно большой по модулю
за счет выбора ξ
k
. Следовательно, при любом разбиении τ
сумма Римана S
τ
(f) может быть по модулю сколь угодно
большой (например, |S
τ
(f)| >
1
|τ|
) при соответствующем
выборе отмеченных точек. Это противоречит существова-
нию (конечного) предела lim
|τ|→0
S
τ
(f). Следовательно, функ-
ция f не интегрируема на [a, b].
Условие ограниченности функции, являясь необходи-
мым для интегрируемости функции, не является достаточ-
ным, в чем можно убедиться на примере функции Дирихле:
f : [0, 1] → R, f(x) =
(
1, если x рационально,
0, если x иррационально.
Для этой функции и произвольного разбиения τ S
τ
(f) = 1,
если все отмеченные точки рациональны, S
τ
(f) = 0, если
все отмеченные точки иррациональны.
Следовательно, функция f не является интегрируемой
на [0, 1].
§ 14.2. Критерий интегрируемости
Определение 1. Пусть функция f определена на от-
резке [a, b]. Ее колебанием на этом отрезке называется чи-
             § 14.2. Критерий интегрируемости                 221

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f неограничена
на отрезке [a, b]. Для произвольного разбиения τ отрезка
представим сумму Римана интегрируемой функции f в
виде
                                                X
      Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ) = f (ξk )∆xk +   f (ξi )∆xi , (1)
                                          16i6iτ
                                           i6=k


где [xk−1 , xk ] — такой отрезок разбиения τ , на котором f не-
ограничена. Выберем каким-либо образом все отмеченные
точки ξi , кроме одной из них с номером k. Тогда правую
часть (1) можно сделать сколь угодно большой по модулю
за счет выбора ξk . Следовательно, при любом разбиении τ
сумма Римана Sτ (f ) может быть по модулю сколь угодно
большой (например, |Sτ (f )| > |τ1| ) при соответствующем
выборе отмеченных точек. Это противоречит существова-
нию (конечного) предела lim Sτ (f ). Следовательно, функ-
                            |τ |→0
ция f не интегрируема на [a, b].
   Условие ограниченности функции, являясь необходи-
мым для интегрируемости функции, не является достаточ-
ным, в чем можно убедиться на примере функции Дирихле:
                          (
                           1, если x рационально,
  f : [0, 1] → R, f (x) =
                           0, если x иррационально.
Для этой функции и произвольного разбиения τ Sτ (f ) = 1,
если все отмеченные точки рациональны, Sτ (f ) = 0, если
все отмеченные точки иррациональны.
    Следовательно, функция f не является интегрируемой
на [0, 1].

         § 14.2. Критерий интегрируемости
   Определение 1. Пусть функция f определена на от-
резке [a, b]. Ее колебанием на этом отрезке называется чи-

Страницы