Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

222 Глава 14. Определенный интеграл
сло
w(f; [a, b]) B sup
x
0
,x
00
∈[a,b]
|f(x
0
) − f(x
00
)| = sup
[a,b]
f − inf
[a,b]
f.
Для f, определенной на отрезке [a, b], и разбиения τ =
= {x
i
}
i
τ
1
этого отрезка положим w
i
(f) = w(f; [x
i−1
, x
i
]).
Теорема 1 (критерий интегрируемости). Для ин-
тегрируемости функции f на [a, b] необходимо и доста-
точно, чтобы для
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 :
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
< ε ∀τ : |τ| < δ. (1)
Критерий интегрируемости кратко можно записать
так:
lim
|τ|→0
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
= 0, (2)
вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен
в (ε, δ)-терминах в (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функ-
ция f интегрируема на [a, b] и
R
b
a
f(x) dx = I. Тогда для
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |S
τ
(f) − I| < ε
∀τ : |τ| < δ, ∀ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
.
Зафиксируем ε, δ и τ. Пусть ξ
0
i
, ξ
00
i
— две такие точки
интервала [x
i−1
, x
i
], что w
i
(f) 6 2(f(ξ
0
i
) − f(ξ
00
i
)). Тогда
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆ x
i
6 2
i
τ
X
i=1
(f(ξ
0
i
) − f(ξ
00
i
))∆x
i
6
6 2|I − S
τ
(f; ξ
0
1
, . . . , ξ
0
i
τ
)| + 2|I − S
τ
(f; ξ
00
1
, . . . , ξ
00
i
τ
)| < 4ε.
Отсюда следует, что
lim
|τ|→0
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
= 0.
222                  Глава 14. Определенный интеграл
сло
      w(f ; [a, b]) B       sup          |f (x0 ) − f (x00 )| = sup f − inf f.
                        x0 ,x00 ∈[a,b]                           [a,b]   [a,b]

   Для f , определенной на отрезке [a, b], и разбиения τ =
= {xi }i1τ этого отрезка положим wi (f ) = w(f ; [xi−1 , xi ]).

   Теорема 1 (критерий интегрируемости). Для ин-
тегрируемости функции f на [a, b] необходимо и доста-
точно, чтобы для
                                    iτ
                                    X
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 :                   wi (f )∆xi < ε ∀ τ : |τ | < δ.        (1)
                                    i=1

   Критерий интегрируемости кратко можно записать
так:
                    iτ
                    X
                lim    wi (f )∆xi = 0,         (2)
                          |τ |→0
                                   i=1
вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен
в (ε, δ)-терминах в (1).
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость.
                                   Rb           Пусть функ-
ция f интегрируема на [a, b] и a f (x) dx = I. Тогда для
             ∀ε > 0        ∃ δ = δ(ε) > 0 : |Sτ (f ) − I| < ε
                      ∀ τ : |τ | < δ,          ∀ ξ1 , . . . , ξiτ .
   Зафиксируем ε, δ и τ . Пусть ξi0 , ξi00 — две такие точки
интервала [xi−1 , xi ], что wi (f ) 6 2(f (ξi0 ) − f (ξi00 )). Тогда
iτ
X                       iτ
                        X
      wi (f )∆xi 6 2          (f (ξi0 ) − f (ξi00 ))∆xi 6
i=1                     i=1
   6 2|I − Sτ (f ; ξ10 , . . . , ξi0τ )| + 2|I − Sτ (f ; ξ100 , . . . , ξi00τ )| < 4ε.
Отсюда следует, что
                                   iτ
                                   X
                           lim            wi (f )∆xi = 0.
                          |τ |→0
                                   i=1

Страницы