Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.2. Критерий интегрируемости 223
Достаточность. Покажем, что при τ = {x
i
}
k
i=0
, τ
∗
=
= {x
∗
j
}
k
∗
j=0
τ.
|S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
k
) − S
τ
∗
(f; ξ
∗
1
, . . . , ξ
∗
k
∗
)| 6
6
k
X
i=1
w(f; [x
i−1
, x
i
])∆x
i
. (3)
Пусть x
i
= x
∗
j
i
∀i = 0, 1, . . . , i
τ
, т. е. x
i−1
= x
∗
j
i−1
<
< . . . < x
∗
j
i
= x
i
. Тогда
f(ξ
i
)∆x
i
−
j
i
X
j=j
i−1
+1
f(ξ
∗
j
)∆x
∗
j
6
j
i
X
j=j
i−1
+1
w
i
(f)∆x
∗
j
= w
i
(f)∆x
i
.
Отсюда следует (3).
Пусть теперь разбиения τ
0
, τ
00
отрезка [a, b] произ-
вольны. Возьмем разбиение τ
∗
: τ
∗
τ
0
, τ
∗
τ
00
(это озна-
чает, что все точки разбиений τ
0
и τ
00
являются точками
разбиения τ
∗
). Тогда в силу (3) получаем
|S
τ
0
(f) − S
τ
00
(f)| 6 |S
τ
0
(f) − S
τ
∗
(f)| + |S
τ
00
(f) − S
τ
∗
(f)| 6
6
k
0
X
i=1
w(f; [x
0
i−1
, x
0
i
])∆x
0
i
+
k
00
X
i=1
w(f; [x
00
i−1
, x
00
i
])∆x
00
i
. (4)
Из (1) и (4) следует, что
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |S
τ
0
(f) − S
τ
00
(f)| < ε,
если |τ
0
|, |τ
00
| < δ. (5)
Исходя из свойства (5), проведем оставшуюся часть до-
казательства достаточности подобно тому, как при доказа-
тельстве критерия Коши для последовательности из фун-
даментальности последовательности была получена ее схо-
димость.
Возьмем произвольную последовательность разбиений
{τ
n
}
∞
n=1
, для которой |τ
n
| → 0 при n → ∞. Для каждого раз-
биения τ
n
= {x
(n)
i
}
k
n
i=1
, отметив произвольно точки ξ
(n)
1
, . . . ,
                    § 14.2. Критерий интегрируемости                                  223

   Достаточность. Покажем, что при τ = {xi }ki=0 , τ ∗ =
          ∗
= {x∗j }kj=0  τ .
|Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξk ) − Sτ ∗ (f ; ξ1∗ , . . . , ξk∗∗ )| 6
                                                   k
                                                   X
                                               6         w(f ; [xi−1 , xi ])∆xi . (3)
                                                   i=1
   Пусть xi = x∗ji ∀ i = 0, 1, . . . , iτ , т. е. xi−1 = x∗ji−1 <
< . . . < x∗ji = xi . Тогда
                     ji
                     X                             ji
                                                   X
 f (ξi )∆xi −         f (ξj∗ )∆x∗j          6              wi (f )∆x∗j = wi (f )∆xi .
             j=ji−1 +1                         j=ji−1 +1

Отсюда следует (3).
   Пусть теперь разбиения τ 0 , τ 00 отрезка [a, b] произ-
вольны. Возьмем разбиение τ ∗ : τ ∗  τ 0 , τ ∗  τ 00 (это озна-
чает, что все точки разбиений τ 0 и τ 00 являются точками
разбиения τ ∗ ). Тогда в силу (3) получаем
|Sτ 0 (f ) − Sτ 00 (f )| 6 |Sτ 0 (f ) − Sτ ∗ (f )| + |Sτ 00 (f ) − Sτ ∗ (f )| 6
            k  0                                   k00
            X                                      X
        6          w(f ; [x0i−1 , x0i ])∆x0i   +         w(f ; [x00i−1 , x00i ])∆x00i . (4)
            i=1                                    i=1
Из (1) и (4) следует, что
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |Sτ 0 (f ) − Sτ 00 (f )| < ε,
                                                          если |τ 0 |, |τ 00 | < δ.    (5)
    Исходя из свойства (5), проведем оставшуюся часть до-
казательства достаточности подобно тому, как при доказа-
тельстве критерия Коши для последовательности из фун-
даментальности последовательности была получена ее схо-
димость.
    Возьмем произвольную последовательность разбиений
{τn }∞
     n=1 , для которой |τn | → 0 при n → ∞. Для каждого раз-
                 (n) n                              (n)
биения τn = {xi }ki=1  , отметив произвольно точки ξ1 , . . . ,

Страницы