Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.2. Критерий интегрируемости 225
называют соответственно нижней и верхней интеграль-
ными суммами Дарбу функции f, соответствующими раз-
биению τ .
Ясно, что для любой интегральной суммы Римана S
τ
(f)
S
τ
(f) 6 S
τ
(f) 6 S
τ
(f).
Нетрудно показать (предоставим это читателю), что
S
τ
(f) − S
τ
(f) =
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
.
C помощью последнего равенства можно перефрази-
ровать критерий интегрируемости функции в терминах
суммы Дарбу:
для интегрируемости функции f на [a, b] необходимо и
достаточно, чтобы
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : S
τ
(f) − S
τ
(f) < ε ∀τ : |τ | < δ.
Упражнение 1. Выяснить геометрический смысл ин-
тегральных сумм Дарбу для неотрицательных функций.
Установим интегрируемость монотонных и непрерыв-
ных функций.
Теорема 2. Функция, монотонная на отрезке, интегри-
руема на этом отрезке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать для определен-
ности, что функция f возрастает на отрезке [a, b]. Тогда
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
=
i
τ
X
i=1
(f(x
i
) − f(x
i−1
))∆x
i
6
6 |τ|
i
τ
X
i=1
(f(x
i
) − f(x
i−1
)) = |τ|(f(b) − f(a)).
Условие (1) для ∀ε > 0 выполнено при δ =
ε
(f(b) − f(a))
,
если f(b) > f(a), и при любом δ > 0, если f(b) = f(a).
               § 14.2. Критерий интегрируемости                             225

называют соответственно нижней и верхней интеграль-
ными суммами Дарбу функции f , соответствующими раз-
биению τ .
   Ясно, что для любой интегральной суммы Римана Sτ (f )
                       Sτ (f ) 6 Sτ (f ) 6 Sτ (f ).
      Нетрудно показать (предоставим это читателю), что
                                            iτ
                                            X
                  Sτ (f ) − Sτ (f ) =             wi (f )∆xi .
                                            i=1
   C помощью последнего равенства можно перефрази-
ровать критерий интегрируемости функции в терминах
суммы Дарбу:
   для интегрируемости функции f на [a, b] необходимо и
достаточно, чтобы
      ∀ε > 0   ∃ δ = δ(ε) : Sτ (f ) − Sτ (f ) < ε ∀ τ : |τ | < δ.
   Упражнение 1. Выяснить геометрический смысл ин-
тегральных сумм Дарбу для неотрицательных функций.
   Установим интегрируемость монотонных и непрерыв-
ных функций.
   Теорема 2. Функция, монотонная на отрезке, интегри-
руема на этом отрезке.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать для определен-
ности, что функция f возрастает на отрезке [a, b]. Тогда
iτ
X                    iτ
                     X
      wi (f )∆xi =         (f (xi ) − f (xi−1 ))∆xi 6
i=1                  i=1
                              iτ
                              X
                     6 |τ |         (f (xi ) − f (xi−1 )) = |τ |(f (b) − f (a)).
                              i=1

Условие (1) для ∀ ε > 0 выполнено при δ = (f (b) −ε        ,
                                                    f (a))
если f (b) > f (a), и при любом δ > 0, если f (b) = f (a).

Страницы