Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

226 Глава 14. Определенный интеграл
Следовательно, f интегрируема в силу критерия интегри-
руемости (теоремы 1).
Теорема 3. Функция, непрерывная на отрезке, инте-
грируема на нем.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f непрерывна
на отрезке [a, b]. Тогда в силу теоремы Кантора она равно-
мерно непрерывна на нем, так что при a 6 c < d 6 b
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : w(f; [c, d]) 6 ε, если d − c < δ.
Следовательно, при произвольном ε > 0 для разбиения
τ отрезка [a, b] с мелкостью |τ| < δ
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
6 ε
i
τ
X
i=1
∆x
i
= ε(b −a).
В силу критерия интегрируемости функция f интегриру-
ема на [a, b].
Теорема 4. Пусть функция f ограничена на отрезке
[a, b] и непрерывна на интервале (a, b).
Тогда она интегрируема на отрезке [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть |f(x)| 6 M при x ∈ [a, b].
Возьмем произвольное ε ∈
0,
b − a
2
. Тогда при произволь-
ном разбиении τ отрезка [a, b]
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
=
X
[x
i−1
,x
i
]6⊂[a+ε,b−ε]
w
i
(f)∆x
i
+
+
X
[x
i−1
,x
i
]⊂[a+ε,b−ε]
w
i
(f)∆x
i
= Σ
0
+ Σ
00
.
Очевидно, что
Σ
0
6 2M (ε + |τ|).
226                  Глава 14. Определенный интеграл

Следовательно, f интегрируема в силу критерия интегри-
руемости (теоремы 1).

   Теорема 3. Функция, непрерывная на отрезке, инте-
грируема на нем.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f непрерывна
на отрезке [a, b]. Тогда в силу теоремы Кантора она равно-
мерно непрерывна на нем, так что при a 6 c < d 6 b
  ∀ε > 0     ∃ δ = δ(ε) > 0 : w(f ; [c, d]) 6 ε, если d − c < δ.

   Следовательно, при произвольном ε > 0 для разбиения
τ отрезка [a, b] с мелкостью |τ | < δ
              iτ
              X                          iτ
                                         X
                     wi (f )∆xi 6 ε            ∆xi = ε(b − a).
               i=1                       i=1

В силу критерия интегрируемости функция f интегриру-
ема на [a, b].

     Теорема 4. Пусть функция f ограничена на отрезке
[a, b] и непрерывна на интервале (a, b).
     Тогда она интегрируема на отрезке [a, b].
   Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть |f (x)| 6 M при x ∈ [a, b].
                                  b − a
Возьмем произвольное ε ∈ 0, 2 . Тогда при произволь-
ном разбиении τ отрезка [a, b]
iτ
X                            X
      wi (f )∆xi =                            wi (f )∆xi +
i=1                  [xi−1 ,xi ]6⊂[a+ε,b−ε]
                                          X
                              +                           wi (f )∆xi = Σ0 + Σ00 .
                                  [xi−1 ,xi ]⊂[a+ε,b−ε]

Очевидно, что
                             Σ0 6 2M (ε + |τ |).

Страницы