Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

228 Глава 14. Определенный интеграл
Для правой части неравенства выполнено (т. к. f ин-
тегрируема на [a, b]) условие (14.2.2). Следовательно, оно
выполнено и для левой части. В силу критерия интегриру-
емости f интегрируема на [a
∗
, b
∗
].
2
◦
(Аддитивность интеграла относительно отрезков ин-
тегрирования). Пусть a < c < b, функция f интегрируема
на [a, c] и интегрируема на [c, b]. Тогда f интегрируема на
[a, b], причем
Z
b
a
f(x) dx =
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f как интегрируемая
на [a, c] и [c, b] ограничена: |f(x)| 6 M при x ∈ [a, b].
Пусть τ = {x
i
}
i
τ
0
— произвольное разбиение отрезка
[a, b], τ
c
— разбиение [a, b], полученное дополнением разби-
ения τ точкой c (или совпадающее с τ, если c ∈ τ). Пусть
еще τ
0
c
, τ
00
c
— разбиения соответственно отрезков [a, c], [c, b],
порожденные разбиением τ
c
.
Сравним суммы Римана S
τ
(f), S
τ
0
c
(f), S
τ
00
c
(f), считая
отмеченные точки в первой из них произвольно выбран-
ными, а во второй и третьей — выбранными по возможно-
сти совпа дающими с отмеченными точками в S
τ
(f).
Тогда
S
τ
(f) − S
τ
0
c
(f) − S
τ
00
c
(f) = 0, если c ∈ τ.
Если же c 6∈ τ, c ∈ (x
i
0
−1
, x
i
0
), то при ξ
i
0
, ξ
0
, ξ
00
∈
∈ [x
i
0
−1
, x
i
0
]
S
τ
(f) − S
τ
0
c
(f) − S
τ
00
c
(f) =
= f(ξ
i
0
)∆x
i
0
− f(ξ
0
)(c − x
i
0
−1
) − f(ξ
00
)(x
i
0
− c).
Отсюда получаем, что
S
τ
(f) − S
τ
0
c
(f) − S
τ
00
c
(f)
6 2M∆x
i
0
6 2M|τ|.
228                 Глава 14. Определенный интеграл

     Для правой части неравенства выполнено (т. к. f ин-
тегрируема на [a, b]) условие (14.2.2). Следовательно, оно
выполнено и для левой части. В силу критерия интегриру-
емости f интегрируема на [a∗ , b∗ ].
     2◦ (Аддитивность интеграла относительно отрезков ин-
тегрирования). Пусть a < c < b, функция f интегрируема
на [a, c] и интегрируема на [c, b]. Тогда f интегрируема на
[a, b], причем
             Z b            Z c            Z b
                 f (x) dx =     f (x) dx +     f (x) dx. (1)
                a                    a            c

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f как интегрируемая
на [a, c] и [c, b] ограничена: |f (x)| 6 M при x ∈ [a, b].
     Пусть τ = {xi }i0τ — произвольное разбиение отрезка
[a, b], τc — разбиение [a, b], полученное дополнением разби-
ения τ точкой c (или совпадающее с τ , если c ∈ τ ). Пусть
еще τc0 , τc00 — разбиения соответственно отрезков [a, c], [c, b],
порожденные разбиением τc .
     Сравним суммы Римана Sτ (f ), Sτc0 (f ), Sτc00 (f ), считая
отмеченные точки в первой из них произвольно выбран-
ными, а во второй и третьей — выбранными по возможно-
сти совпадающими с отмеченными точками в Sτ (f ).
     Тогда
             Sτ (f ) − Sτc0 (f ) − Sτc00 (f ) = 0, если c ∈ τ.

    Если же c 6∈ τ , c ∈ (xi0 −1 , xi0 ), то при ξi0 , ξ 0 , ξ 00 ∈
∈ [xi0 −1 , xi0 ]
Sτ (f ) − Sτc0 (f ) − Sτc00 (f ) =
                 = f (ξi0 )∆xi0 − f (ξ 0 )(c − xi0 −1 ) − f (ξ 00 )(xi0 − c).
Отсюда получаем, что
          Sτ (f ) − Sτc0 (f ) − Sτc00 (f ) 6 2M ∆xi0 6 2M |τ |.

Страницы