Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

230 Глава 14. Определенный интеграл
Следовательно,
i
τ
X
i=1
w
i
(fg)∆x
i
6 M
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
+ M
i
τ
X
i=1
w
i
(g)∆x
i
.
Устремляя |τ| → 0 и пользуясь критерием интегрируе-
мости, получаем, что fg интегрируемо на [a, b].
5
◦
Пусть функция f интегрируема на [a, b] и inf
[a,b]
f > 0.
Тогда
1
f
интегрируема на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о основывается на оценке w
i
1
f
через w
i
(f).
6
◦
Пусть функции f, g интегрируемы на [a, b] и f 6 g
на [a, b]. Тогда
Z
b
a
f(x) dx 6
Z
b
a
g(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться
предельным переходом при |τ| → 0 в соответствующем не-
равенстве для интегральных сумм Римана:
S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
) 6 S
τ
(g; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
).
7
◦
Если f интегрируема на [a, b], то |f| интегрируема
на [a, b] и
Z
b
a
f(x) dx
6
Z
b
a
|f(x)|dx. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируемость |f | с помо-
щью критерия интегрируемости следует из оценки
|f(ξ
0
)| − |f(ξ
00
)| 6 |f(ξ
0
) − f(ξ
00
)|,
откуда w
i
(|f|) 6 w
i
(f) и
i
τ
X
i=1
w
i
(|f|)∆x
i
6
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
.
230                  Глава 14. Определенный интеграл

      Следовательно,
      iτ
      X                           iτ
                                  X                           iτ
                                                              X
             wi (f g)∆xi 6 M             wi (f )∆xi + M              wi (g)∆xi .
       i=1                         i=1                         i=1

   Устремляя |τ | → 0 и пользуясь критерием интегрируе-
мости, получаем, что f g интегрируемо на [a, b].
   5◦ Пусть функция f интегрируема на [a, b] и inf f > 0.
                                                                          [a,b]
Тогда f1 интегрируема на [a, b].
                                                          
    Д о к а з а т е л ь с т в о основывается на оценке wi f1
через wi (f ).
    6◦ Пусть функции f , g интегрируемы на [a, b] и f 6 g
на [a, b]. Тогда
                    Z b            Z b
                        f (x) dx 6     g(x) dx.
                           a                   a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться
предельным переходом при |τ | → 0 в соответствующем не-
равенстве для интегральных сумм Римана:
                Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ) 6 Sτ (g; ξ1 , . . . , ξiτ ).
    7◦ Если f интегрируема на [a, b], то |f | интегрируема
на [a, b] и
                Z b            Z b
                    f (x) dx 6     |f (x)| dx.          (2)
                           a                   a
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируемость |f | с помо-
щью критерия интегрируемости следует из оценки
                   |f (ξ 0 )| − |f (ξ 00 )| 6 |f (ξ 0 ) − f (ξ 00 )|,
откуда wi (|f |) 6 wi (f ) и
                     iτ
                     X                        iτ
                                              X
                           wi (|f |)∆xi 6            wi (f )∆xi .
                     i=1                       i=1

Страницы