Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.3. Свойства интегрируемых функций 229
Устремляя |τ| → 0 и учитывая, что при этом
S
τ
0
c
(f) →
Z
c
a
f(x) dx, S
τ
00
c
(f) →
Z
b
c
f(x) dx,
заключаем, что
∃ lim
|τ|→0
S
τ
(f) C
Z
b
a
f(x) dx
и что выполняется равенство (1).
З а м е ч а н и е. Положив
R
a
a
f(x) dx B 0 и
R
a
b
f(x) dx B −
R
b
a
f(x) dx при a < b, без труда убеждаемся,
что равенство (1) справедливо при любом расположении
точек a, b, c для функции f, интегрируемой на отрезке, со-
держащем эти точки.
3
◦
(Линейность интеграла). Если f, g интегрируемы на
[a, b], λ, µ ∈ R, то функция λf + µg также интегрируема на
[a, b], причем
Z
b
a
(λf(x) + µg(x)) dx = λ
Z
b
a
f(x) dx + µ
Z
b
a
µg(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о получается предельным перехо-
дом при |τ | → 0 из соответствующего равенства для инте-
гральных сумм Римана.
4
◦
Если функции f, g интегрируемы на [a, b], то их про-
изведение fg также интегрируемо на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем ∆(fg)(x
0
) = (f g)(x
0
+
+ ∆x) − (fg)(x
0
) = f(x
0
+ ∆x)g(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)g(x
0
+
+ ∆x) + f(x
0
)g(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)g(x
0
) = ∆f (x
0
)g(x
0
+ ∆x) +
+ f(x
0
)∆g(x
0
).
Эта формула аналогична формуле Лейбница дифферен-
цирования произведения двух функций.
Отсюда при условии ограниченности функций f, g
имеем
w(fg; [c, d]) 6 M w(f; [c, d]) + M w(g; [c, d]),
если |f|, |g| 6 M на [a, b], [c, d] ⊂ [a, b].
          § 14.3. Свойства интегрируемых функций               229

    Устремляя |τ | → 0 и учитывая, что при этом
                   Z c                        Z b
       Sτc0 (f ) →     f (x) dx, Sτc00 (f ) →     f (x) dx,
                      a                                c
заключаем, что
                                        Z   b
                    ∃ lim Sτ (f ) C             f (x) dx
                      |τ |→0            a
и что выполняется равенство (1).               Ra
     З а м е ч а н и е. Положив a f (x) dx B 0 и
Ra                 Rb
 b f (x) dx B − a f (x) dx при a < b, без труда убеждаемся,
что равенство (1) справедливо при любом расположении
точек a, b, c для функции f , интегрируемой на отрезке, со-
держащем эти точки.
     3◦ (Линейность интеграла). Если f , g интегрируемы на
[a, b], λ, µ ∈ R, то функция λf + µg также интегрируема на
[a, b], причем
     Z b                         Z b              Z b
         (λf (x) + µg(x)) dx = λ     f (x) dx + µ     µg(x) dx.
     a                              a                      a
    Д о к а з а т е л ь с т в о получается предельным перехо-
дом при |τ | → 0 из соответствующего равенства для инте-
гральных сумм Римана.
    4◦ Если функции f , g интегрируемы на [a, b], то их про-
изведение f g также интегрируемо на [a, b].
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем ∆(f g)(x0 ) = (f g)(x0 +
+ ∆x) − (f g)(x0 ) = f (x0 + ∆x)g(x0 + ∆x) − f (x0 )g(x0 +
+ ∆x) + f (x0 )g(x0 + ∆x) − f (x0 )g(x0 ) = ∆f (x0 )g(x0 + ∆x) +
+ f (x0 )∆g(x0 ).
    Эта формула аналогична формуле Лейбница дифферен-
цирования произведения двух функций.
    Отсюда при условии ограниченности функций f , g
имеем
          w(f g; [c, d]) 6 M w(f ; [c, d]) + M w(g; [c, d]),
если |f |, |g| 6 M на [a, b], [c, d] ⊂ [a, b].

Страницы