Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.3. Свойства интегрируемых функций 231
Оценка (2) получается предельным переходом из соот-
ветствующей оценки для интегральных сумм Римана:
S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
) 6 S
τ
(|f|; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
).
Заметим, что интегрируемость |f| на [a, b] не влечет ин-
тегрируемость f на [a, b], что можно увидеть на примере
функции ψ: [0, 1] → R,
ψ(x) =
(
1 при x рациональном,
−1 при x иррациональном.
8
◦
(интеграл «не замечает» изменения функции в конеч-
ном числе точек).
Пусть f интегрируема на [a, b], f
∗
отличается от f лишь
в конечном числе точек. Тогда f
∗
интегрируема на [a, b] и
Z
b
a
f
∗
(x) dx =
Z
b
a
f(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что ϕ =
= f
∗
− f интегрируема на [a, b] и
R
b
a
ϕ(x) dx = 0. Пусть ϕ
отлична от нуля в N точках и max
[a,b]
|ϕ| = M. Тогда
S
τ
(ϕ) 6 M2N|τ|
и остается перейти в этом неравенстве к пределу при |τ| →
→ 0.
Упражнение 1. Доказать теорему 14.2.5, пользуясь
последовательно теоремой 14.2.3, свойствами 8
◦
и 2
◦
.
Теорема 1. Пусть f непрерывна и f > 0 на [a, b], x
0
∈
∈ [a, b], f(x
0
) > 0. Тогда
Z
b
a
f(x) dx > 0.
         § 14.3. Свойства интегрируемых функций                        231

   Оценка (2) получается предельным переходом из соот-
ветствующей оценки для интегральных сумм Римана:
          Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ) 6 Sτ (|f |; ξ1 , . . . , ξiτ ).

   Заметим, что интегрируемость |f | на [a, b] не влечет ин-
тегрируемость f на [a, b], что можно увидеть на примере
функции ψ: [0, 1] → R,
                  (
                   1    при x рациональном,
         ψ(x) =
                   −1 при x иррациональном.

   8◦ (интеграл «не замечает» изменения функции в конеч-
ном числе точек).
   Пусть f интегрируема на [a, b], f ∗ отличается от f лишь
в конечном числе точек. Тогда f ∗ интегрируема на [a, b] и
                Z b            Z b
                     ∗
                    f (x) dx =     f (x) dx.
                     a                     a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно
                                      Rb   доказать, что ϕ =
= f ∗ − f интегрируема на [a, b] и a ϕ(x) dx = 0. Пусть ϕ
отлична от нуля в N точках и max |ϕ| = M . Тогда
                                          [a,b]

                          Sτ (ϕ) 6 M 2N |τ |
и остается перейти в этом неравенстве к пределу при |τ | →
→ 0.
   Упражнение 1. Доказать теорему 14.2.5, пользуясь
последовательно теоремой 14.2.3, свойствами 8◦ и 2◦ .

    Теорема 1. Пусть f непрерывна и f > 0 на [a, b], x0 ∈
∈ [a, b], f (x0 ) > 0. Тогда
                          Z b
                              f (x) dx > 0.
                             a

Страницы