Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.3. Свойства интегрируемых функций 233
Пусть теперь
R
b
a
g(x) dx > 0. Тогда из (5) получаем, что
m 6
R
b
a
f(x)g(x) dx
R
b
a
g(x) dx
6 M.
Взяв µ =
R
b
a
f(x)g(x) dx
R
b
a
g(x) dx
, получаем (3).
Установим (4). Будем рассматривать лишь нетриви-
альный случай, когда
R
b
a
g(x) dx > 0. Считая m = min
[a,b]
f,
M = max
[a,b]
f, рассмотрим три возможных случая: m < µ <
< M , µ = m, µ = M. В первом из них, по теореме о про-
межуточном значении непрерывной функции, ∃ξ ∈ (a, b):
f(ξ) = M и из (3) следует (4).
Случаи µ = m и µ = M рассматриваются одинаково.
Поэтому рассмотрим лишь случай µ = M.
Если максимум M функции f достигается в некоторой
точке ξ ∈ (a, b), то из (3) следует (4) с этим значением ξ.
Остается нерассмотренным лишь случай, когда µ = M,
f(x) < M при x ∈ (a, b). Покажем, что этот случай неосу-
ществим, что и завершит доказательство теоремы.
В условиях этого случая из (3) следовало бы, что
Z
b
a
[M − f(x)]g(x) dx = 0.
Тогда при ∀ε ∈
0,
b −a
2
0 =
Z
b−ε
a+ε
[M − f(x)]g(x) dx > α
ε
Z
b−ε
a+ε
g(x) dx,
где α
ε
= min
[a+ε,b−ε]
[M − f(x)] > 0.
Отсюда
G(ε) B
Z
b−ε
a+ε
g(x) dx = 0 ∀ε ∈
0,
b − a
2
.
              § 14.3. Свойства интегрируемых функций                            233
                           Rb
   Пусть теперь             ag(x) dx > 0. Тогда из (5) получаем, что
                               Rb
                                  f (x)g(x) dx
                           m 6 aR b            6 M.
                                   a g(x) dx
                  Rb
                   a
                       f (x)g(x) dx
   Взяв µ =            Rb           , получаем (3).
                        a
                          g(x) dx
   Установим (4). Будем рассматривать лишь нетриви-
                    Rb
альный случай, когда a g(x) dx > 0. Считая m = min f ,
                                                                            [a,b]
M = max f , рассмотрим три возможных случая: m < µ <
      [a,b]
< M , µ = m, µ = M . В первом из них, по теореме о про-
межуточном значении непрерывной функции, ∃ ξ ∈ (a, b):
f (ξ) = M и из (3) следует (4).
    Случаи µ = m и µ = M рассматриваются одинаково.
Поэтому рассмотрим лишь случай µ = M .
    Если максимум M функции f достигается в некоторой
точке ξ ∈ (a, b), то из (3) следует (4) с этим значением ξ.
    Остается нерассмотренным лишь случай, когда µ = M ,
f (x) < M при x ∈ (a, b). Покажем, что этот случай неосу-
ществим, что и завершит доказательство теоремы.
    В условиях этого случая из (3) следовало бы, что
                   Z b
                       [M − f (x)]g(x) dx = 0.
                            a
                        
Тогда при ∀ ε ∈ 0, b −
                     2
                       a

          Z b−ε                         Z                 b−ε
      0=        [M − f (x)]g(x) dx > αε                         g(x) dx,
                 a+ε                                  a+ε
где αε =       min [M − f (x)] > 0.
           [a+ε,b−ε]
   Отсюда
                            b−ε                                    
                                                             b−a
                       Z
         G(ε) B                   g(x) dx = 0 ∀ ε ∈       0,            .
                        a+ε                                   2

Страницы