Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.4. Связь между определ. и неопредел. интегралами 235
(под F
0
(x
0
) в случае x
0
= a или x
0
= b подразумевается
односторонняя производная).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая из
∆F (x
0
)
∆x
предпола-
гаемый предел f(x
0
), имеем при x
0
+ ∆x ∈ [a, b]
∆F (x
0
)
∆x
− f(x
0
) =
1
∆x
Z
x
0
+∆x
x
0
[f(t) −f(x
0
)] dt.
Пусть ε > 0. Тогда в силу непрерывности f в точке x
0
∃δ = δ(ε) : |f(t) − f (x
0
)| < ε, если t ∈ [a, b], |t − x
0
| < δ.
Следовательно, при |∆x| < δ (и x
0
+ ∆x ∈ [a, b])
∆F (x
0
)
∆x
− f(x
0
)
6
1
∆x
Z
x
0
+∆x
x
0
[f(t) − f (x
0
)] dt 6
6 ε
1
∆x
Z
x
0
+∆x
x
0
1 dt = ε.
Но это и означает, что
∆F (x
0
)
∆x
→ f (x
0
) при x
0
+ ∆x ∈ [a, b], ∆x → 0,
что и требовалось показать.
Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] опреде-
лена функция
G(x) =
Z
b
x
f(t) dt, a 6 x 6 b,
называемая интегралом с переменным нижним пределом.
Функция
G(x) =
Z
b
a
f(t) dt − F (x).
Следовательно, G непрерывна на [a, b]. Если же f непре-
рывна в точке x
0
∈ [a, b], то
∃G
0
(x
0
) = −F
0
(x
0
) = −f(x
0
). (3)
  § 14.4. Связь между определ. и неопредел. интегралами          235

(под F 0 (x0 ) в случае x0 = a или x0 = b подразумевается
односторонняя производная).
                                                ∆F (x )
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая из ∆x 0 предпола-
гаемый предел f (x0 ), имеем при x0 + ∆x ∈ [a, b]
                                 Z x0 +∆x
      ∆F (x0 )                1
                − f (x0 ) =               [f (t) − f (x0 )] dt.
         ∆x                  ∆x x0
   Пусть ε > 0. Тогда в силу непрерывности f в точке x0
 ∃ δ = δ(ε) : |f (t) − f (x0 )| < ε, если t ∈ [a, b], |t − x0 | < δ.
Следовательно, при |∆x| < δ (и x0 + ∆x ∈ [a, b])
                         Z x0 +∆x
 ∆F (x0 )              1
          − f (x0 ) 6             [f (t) − f (x0 )] dt 6
  ∆x                  ∆x x0
                                                Z x0 +∆x
                                             1
                                       6ε                1 dt = ε.
                                           ∆x x0
Но это и означает, что
     ∆F (x0 )
              → f (x0 ) при x0 + ∆x ∈ [a, b], ∆x → 0,
       ∆x
что и требовалось показать.
   Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] опреде-
лена функция
                       Z b
              G(x) =       f (t) dt, a 6 x 6 b,
                           x
называемая интегралом с переменным нижним пределом.
Функция
                      Z b
               G(x) =     f (t) dt − F (x).
                               a
Следовательно, G непрерывна на [a, b]. Если же f непре-
рывна в точке x0 ∈ [a, b], то
                 ∃ G0 (x0 ) = −F 0 (x0 ) = −f (x0 ).              (3)

Страницы