Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

236 Глава 14. Определенный интеграл
Как и раньше, через ha, bi будем обозначать промежуток
(т. е. отрезок, интервал или какой-либо из полуинтервалов)
с концами a, b.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на ha, bi. То-
гда она имеет на ha, bi первообразную
F (x) =
Z
x
x
0
f(t) dt, где x
0
∈ ha, bi.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из формулы (2) при x ∈
∈ ha, bi, x > x
0
, и формулы (3) при x ∈ ha, bi, x 6 x
0
, если
учесть, что в последнем случае F можно представить в виде
F (x) = −
R
x
0
x
f(t) dt.
Теорема 4 (основная теорема интегрального ис-
числения). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]
и Φ — ее первообразная на этом отрезке. Тогда
Z
b
a
f(x) dx = Φ(b) − Φ(a). (4)
Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбни-
ца.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция F (x) =
R
x
a
f(t) dt
является первообразной для функции f на отрезке [a, b]. По-
этому
F (x) = Φ(x) + C, a 6 x 6 b,
т. е.
Z
x
a
f(t) dt = Φ(x) + c, a 6 x 6 b.
Отсюда при x = a получаем 0 = Φ(a) + C. Выражая из
последнего равенства C и подставляя его в предшествую-
щее равенство, получаем, что
Z
x
a
f(t) dt = Φ(x) − Φ(a) a 6 x 6 b.
Последнее равенство при x = b совпадает с (4).
236                   Глава 14. Определенный интеграл

    Как и раньше, через ha, bi будем обозначать промежуток
(т. е. отрезок, интервал или какой-либо из полуинтервалов)
с концами a, b.
   Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на ha, bi. То-
гда она имеет на ha, bi первообразную
                   Z x
           F (x) =     f (t) dt, где x0 ∈ ha, bi.
                            x0

    Д о к а з а т е л ь с т в о следует из формулы (2) при x ∈
∈ ha, bi, x > x0 , и формулы (3) при x ∈ ha, bi, x 6 x0 , если
учесть, чтоR xв последнем случае F можно представить в виде
F (x) = − x 0 f (t) dt.
   Теорема 4 (основная теорема интегрального ис-
числения). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]
и Φ — ее первообразная на этом отрезке. Тогда
               Z b
                   f (x) dx = Φ(b) − Φ(a).         (4)
                        a


      Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбни-
ца.                                                Rx
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция F (x) = a f (t) dt
является первообразной для функции f на отрезке [a, b]. По-
этому
                 F (x) = Φ(x) + C, a 6 x 6 b,
т. е.          Z x
                   f (t) dt = Φ(x) + c, a 6 x 6 b.
                  a
   Отсюда при x = a получаем 0 = Φ(a) + C. Выражая из
последнего равенства C и подставляя его в предшествую-
щее равенство, получаем, что
           Z x
               f (t) dt = Φ(x) − Φ(a) a 6 x 6 b.
              a
      Последнее равенство при x = b совпадает с (4).

Страницы