Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

234 Глава 14. Определенный интеграл
Но функция G непрерывна на
h
0,
b − a
2
i
(что будет показано
в следующем параграфе). Поэтому, переходя в последнем
равенстве к пределу при ε → 0 + 0, получаем, что
Z
b
a
g(x) dx = 0,
что противоречит предположению.
§ 14.4. Связь между определенным и
неопределенным интегралами
Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] опреде-
лена функция
F (x) =
Z
x
a
f(t) dt, a 6 x 6 b, (1)
называемая интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда
функция F непрерывна на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x
0
, x
0
+∆x ∈ [a, b]. Тогда
F (x
0
+∆x)−F (x
0
) =
Z
x
0
+∆x
a
f(t) dt−
Z
x
0
a
f(t) dt =
Z
x
0
+∆x
x
0
f(t) dt.
Функция f ограничена на [a, b] (поскольку она интегриру-
ема), так что при некотором M
|f(t)| 6 M ∀t ∈ [a, b].
Следовательно,
|F (x
0
+ ∆x) − F (x
0
)| 6 M|∆x| → 0 при ∆x → 0,
что и требовалось показать.
Теорема 2. Пусть функция f интегрируема на [a, b]
и непрерывна в точке x
0
∈ [a, b]. Тогда функция F (x) =
=
R
x
a
f(t) dt имеет производную в точке x
0
и
F
0
(x
0
) = f(x
0
) (2)
234              Глава 14. Определенный интеграл
                              h       i
Но функция G непрерывна на 0, b − 2
                                    a (что будет показано

в следующем параграфе). Поэтому, переходя в последнем
равенстве к пределу при ε → 0 + 0, получаем, что
                     Z b
                         g(x) dx = 0,
                              a
что противоречит предположению.

        § 14.4. Связь между определенным и
            неопределенным интегралами
   Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] опреде-
лена функция
                     Z x
             F (x) =     f (t) dt, a 6 x 6 b,          (1)
                              a
называемая интегралом с переменным верхним пределом.
   Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда
функция F непрерывна на [a, b].
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 , x0 +∆x ∈ [a, b]. Тогда
                        Z x0 +∆x         Z x0          Z x0 +∆x
F (x0 +∆x)−F (x0 ) =           f (t) dt−    f (t) dt =       f (t) dt.
                          a                a            x0
Функция f ограничена на [a, b] (поскольку она интегриру-
ема), так что при некотором M
                     |f (t)| 6 M     ∀ t ∈ [a, b].
Следовательно,
      |F (x0 + ∆x) − F (x0 )| 6 M |∆x| → 0 при ∆x → 0,
что и требовалось показать.
   Теорема 2. Пусть функция f интегрируема на [a, b]
и непрерывна
  Rx           в точке x0 ∈ [a, b]. Тогда функция F (x) =
= a f (t) dt имеет производную в точке x0 и
                          F 0 (x0 ) = f (x0 )                     (2)

Страницы