Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

232 Глава 14. Определенный интеграл
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(x
0
) = d > 0. Тогда
найдется отрезок [a
∗
, b
∗
] ⊂ [a, b], b
∗
− a
∗
> 0, на котором
f >
d
2
. Имеем в силу 5
◦
Z
b
a
f(x) dx =
Z
a
∗
a
f(x) dx +
Z
b
∗
a
∗
f(x) dx +
Z
b
b
∗
f(x) dx >
> 0 +
Z
b
∗
a
∗
d
2
dx + 0 =
d
2
Z
b
∗
a
∗
1 dx =
d
2
(b
∗
− a
∗
) > 0.
Теорема 2 (теорема о среднем для интеграла).
Пусть функции f, g интегрируемы на отрезке [a, b],
m 6 f 6 M на [a, b],
функция g не меняет знака на отрезке [a, b].
Тогда
∃µ ∈ [m, M] :
Z
b
a
f(x)g(x) dx = µ
Z
b
a
g(x) dx. (3)
При дополнительном предположении непрерывности
функции f на отрезке [a, b]
∃ξ ∈ (a, b) :
Z
b
a
f(x)g(x) dx = f(ξ)
Z
b
a
g(x) dx. (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
g > 0 на [a, b]. Тогда
mg(x) 6 f(x)g(x) 6 Mg(x), x ∈ [a, b].
Отсюда в силу свойства 6
◦
m
Z
b
a
g(x) dx 6
Z
b
a
f(x)g(x) dx 6 M
Z
b
a
g(x) dx. (5)
Пусть сначала
R
b
a
g(x) dx = 0. Тогда из (5) следует,
что
R
b
a
f(x)g(x) dx = 0 и в качестве µ в (3) можно взять
произвольное число.
232             Глава 14. Определенный интеграл

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x0 ) = d > 0. Тогда
найдется отрезок [a∗ , b∗ ] ⊂ [a, b], b∗ − a∗ > 0, на котором
f > d2 . Имеем в силу 5◦
Z b            Z a∗             Z b∗            Z b
    f (x) dx =       f (x) dx +      f (x) dx +     f (x) dx >
 a               a               a∗              b∗
                   Z b∗                Z ∗
                        d            d b            d
           >0+            dx + 0 =          1 dx = (b∗ − a∗ ) > 0.
                    a∗ 2             2 a∗           2

   Теорема 2 (теорема о среднем для интеграла).
Пусть функции f , g интегрируемы на отрезке [a, b],
                    m6f 6M         на [a, b],
функция g не меняет знака на отрезке [a, b].
   Тогда
                      Z b                  Z b
      ∃ µ ∈ [m, M ] :     f (x)g(x) dx = µ     g(x) dx.       (3)
                           a                    a
   При дополнительном предположении непрерывности
функции f на отрезке [a, b]
                    Z b                      Z b
     ∃ ξ ∈ (a, b) :     f (x)g(x) dx = f (ξ)     g(x) dx. (4)
                       a                        a


   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
g > 0 на [a, b]. Тогда
           mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x),      x ∈ [a, b].
Отсюда в силу свойства 6◦
       Z b           Z b                  Z b
     m     g(x) dx 6     f (x)g(x) dx 6 M     g(x) dx.        (5)
           a               a                    a
                   Rb
   Пусть сначала a g(x) dx = 0. Тогда из (5) следует,
    Rb
что a f (x)g(x) dx = 0 и в качестве µ в (3) можно взять
произвольное число.

Страницы