Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 238 стр.

238                  Глава 14. Определенный интеграл

      Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства
           u(x)v 0 (x) = (u(x)v(x))0 − u0 (x)v(x),       a 6 x 6 b,
следует, что
   Z b                Z b                 Z b
            0                       0
       u(x)v (x) dx =     (u(x)v(x)) dx −     u0 (x)v(x) dx.
       a                     a                       a
Остается заметить, что по формуле Ньютона–Лейбница
          Z b
              (u(x)v(x))0 dx = u(b)v(b) − u(a)v(a).
                 a

     Определение 1. Функция f : [a, b] → R называется не-
прерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой (или
непрерывной и кусочно гладкой) на [a, b], если она непре-
рывна на [a, b] и существует разбиение τ = {ai }i0τ отрезка
[a, b], при котором производная f 0 непрерывна на каждом
отрезке [ai−1 , ai ], если в концах его производную понимать
как одностороннюю.
     Обобщим понятие определенного интеграла.
   Определение 2. Интегралом по отрезку [a, b] функ-
ции f , определенной на отрезке [a, b], за исключением ко-
нечного числа точек, называется
                 Z b            Z b
                     f (x) dx B     f˜(x) dx,
                        a               a
если стоящий справа интеграл существует, где f˜: [a, b] →
→ R — каким-либо образом доопределенная в этих точках
функция f . R
                  b
    Интеграл a f (x) dx определен здесь корректно, т. к.
Rb
   ˜
 a f (x) dx не зависит от способа доопределения функции f ,
что следует из свойства 8◦ интеграла.
   Теорема 3 (интегрирование по частям). Пусть
функции u, v непрерывны и кусочно непрерывно дифферен-
цируемы на отрезке [a, b]. Тогда справедлива формула (2).