Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.6. Приложения определенного интеграла 239
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения 1 суще-
ствует разбиение τ = {a
i
}
i
τ
0
, при котором u, v — непре-
рывно дифференцируемы на каждом отрезке [a
i−1
, a
i
] (i =
= 1, . . . , i
τ
). Производные же u
0
, v
0
в точках a
i
(i =
= 0, 1, . . . , i
τ
) могут не существовать. В силу определе-
ния 2 и свойства 8
◦
интеграла
Z
b
a
u(x)v
0
(x) dx =
i
τ
X
i=1
Z
a
i
a
i−1
u(x)v
0
(x) dx.
Применяя к каждому слагаемому правой части теорему 2,
получаем, что
Z
b
a
u(x)v
0
(x) dx =
i
τ
X
i=1
u(x)v(x)
a
i
a
i−1
−
Z
a
i
a
i−1
u(x)v
0
(x) dx
!
=
= u(x)v(x)
b
a
−
Z
b
a
u
0
(x)v(x) dx.
§ 14.6. Приложения определенного интеграла
В этом параграфе будет показано, как с помощью опре-
деленного интеграла вычислить площадь криволинейной
трапеции, объем тела вращения и другие геометрические
величины. Фигуру в R
2
, имеющую площадь, называют
квадрируемой, а тело в R
3
, имеющее объем, — кубируемым.
Обобщением этих понятий являются измеримость и мера
множеств в R
n
(n > 1). Здесь же ограничимся лишь кон-
статацией некоторых свойств измеримости (по Жордану)
и меры (жордановой меры), позволяющих вычислить меры
плоских фигур и трехмерных тел простых геометрических
форм
1
. Меру множества E ⊂ R
n
будем обозначать симво-
лом µE.
1
Впоследствии будет показано, что такие множества измеримы
(т. е. имеют меру).
        § 14.6. Приложения определенного интеграла                   239

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения 1 суще-
ствует разбиение τ = {ai }i0τ , при котором u, v — непре-
рывно дифференцируемы на каждом отрезке [ai−1 , ai ] (i =
= 1, . . . , iτ ). Производные же u0 , v 0 в точках ai (i =
= 0, 1, . . . , iτ ) могут не существовать. В силу определе-
ния 2 и свойства 8◦ интеграла
              Z b                 iτ Z ai
                                  X
                        0
                   u(x)v (x) dx =         u(x)v 0 (x) dx.
            a                 i=1   ai−1

Применяя к каждому слагаемому правой части теорему 2,
получаем, что
                     iτ
                                                         !
Z b                  X           ai   Z ai
    u(x)v 0 (x) dx =    u(x)v(x)    −      u(x)v 0 (x) dx =
 a                 i=1              ai−1   ai−1
                                           b       Z   b
                              = u(x)v(x)       −           u0 (x)v(x) dx.
                                           a       a



 § 14.6. Приложения определенного интеграла
   В этом параграфе будет показано, как с помощью опре-
деленного интеграла вычислить площадь криволинейной
трапеции, объем тела вращения и другие геометрические
величины. Фигуру в R2 , имеющую площадь, называют
квадрируемой, а тело в R3 , имеющее объем, — кубируемым.
Обобщением этих понятий являются измеримость и мера
множеств в Rn (n > 1). Здесь же ограничимся лишь кон-
статацией некоторых свойств измеримости (по Жордану)
и меры (жордановой меры), позволяющих вычислить меры
плоских фигур и трехмерных тел простых геометрических
форм1 . Меру множества E ⊂ Rn будем обозначать симво-
лом µE.
    1
      Впоследствии будет показано, что такие множества измеримы
(т. е. имеют меру).

Страницы