Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.6. Приложения определенного интеграла 241
где S
τ
, S
τ
— соответственно наименьшая и наибольшая
интегральные суммы Римана функции f для разбиения τ.
Следовательно,
S
τ
6 µG 6 S
τ
.
Отсюда, устремляя мелкость |τ | разбиения τ к нулю, полу-
чаем, что
µG =
Z
b
a
f(x) fx.
Упражнение 1. Выяснить геометрический смысл ин-
теграла
R
b
a
f(x) dx, где непрерывная функция f отрица-
тельна или меняет знак.
Упражнение 2. Вычислить площадь круга радиусом
R и площадь его сектора.
(2) Площадь криволинейного сектора.
0
α
β
Рис. 14.3
Пусть кривая Γ задана в поляр-
ной системе координат уравне-
нием
Γ = {(r, θ) : r = r(θ), α 6 θ 6 β},
где r = r(θ) непрерывна и нео-
трицательна на [α, β] ⊂ [0, 2π],
G = {(r, θ): α 6 θ 6 β,
0 6 r 6 r(θ)}.
Пусть τ = {α
i
}
i
τ
0
— разбиение отрезка [α, β], m
i
=
= min
[α
i−1
,α
i
]
r, M
i
= max
[α
i−1
,α
i
]
r.
Построим две фигуры G
∗
(τ), G
∗
(τ):
G
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
{(r, θ) : α
i
6 θ 6 β
i
, 0 6 r 6 m
i
},
G
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
{(r, θ) : α
i
6 θ 6 β
i
, 0 6 r 6 M
i
}.
          § 14.6. Приложения определенного интеграла               241

где S τ , S τ — соответственно наименьшая и наибольшая
интегральные суммы Римана функции f для разбиения τ .
Следовательно,
                       S τ 6 µG 6 S τ .
Отсюда, устремляя мелкость |τ | разбиения τ к нулю, полу-
чаем, что
                            Z b
                     µG =       f (x) f x.
                                     a
   Упражнение
        Rb        1. Выяснить геометрический смысл ин-
теграла a f (x) dx, где непрерывная функция f отрица-
тельна или меняет знак.
   Упражнение 2. Вычислить площадь круга радиусом
R и площадь его сектора.
(2) Площадь криволинейного сектора.
Пусть кривая Γ задана в поляр-
ной системе координат уравне-
нием
                                               β
Γ = {(r, θ) : r = r(θ), α 6 θ 6 β},

где r = r(θ) непрерывна и нео-             α
                                 0
трицательна на [α, β] ⊂ [0, 2π],      Рис. 14.3
G = {(r, θ): α 6 θ 6 β,
0 6 r 6 r(θ)}.
   Пусть τ = {αi }i0τ — разбиение отрезка [α, β], mi =
= min r, Mi = max r.
  [αi−1 ,αi ]          [αi−1 ,αi ]
   Построим две фигуры G∗ (τ ), G∗ (τ ):
                     iτ
                     [
         G∗ (τ ) =         {(r, θ) : αi 6 θ 6 βi , 0 6 r 6 mi },
                     i=1
                     [iτ
         G∗ (τ ) =         {(r, θ) : αi 6 θ 6 βi , 0 6 r 6 Mi }.
                     i=1

Страницы