Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

242 Глава 14. Определенный интеграл
Тогда
1
2
i
τ
X
i=1
m
2
i
∆α
i
= µG
∗
(τ) 6 µG 6 µG
∗
(τ) =
1
2
i
τ
X
i=1
M
2
i
∆α
i
.
Устремляя |τ| → 0, получаем отсюда, что
µG =
1
2
Z
β
α
r
2
(θ) dθ.
(3) Объем тела вращения. Пусть функция f непре-
рывна и неотрицательна на [a, b], тело Ω ⊂ R
3
образовано
вращением криволинейной трапеции (1) вокруг оси Ox.
Пусть τ = {x
i
}
i
τ
0
— разбиение отрезка [a, b], m
i
=
= min
[x
i−1
,x
i
]
f, M
i
= max
[x
i−1
,x
i
]
f,
Ω
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
{(x, y, z) : x
i−1
6 x 6 x
i
, y
2
+ z
2
6 m
2
i
},
Ω
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
{(x, y, z) : x
i−1
6 x 6 x
i
, y
2
+ z
2
6 M
2
i
}.
Тогда
π
i
τ
X
i=1
m
2
i
∆x
i
= µΩ
∗
(τ) 6 µΩ 6 µΩ
∗
(τ) = π
i
τ
X
i=1
M
2
i
∆x
i
.
Устремляя |τ| → 0, получаем отсюда, что
µΩ = π
Z
b
a
f
2
(x) dx.
(4) Вычисление длины кривой. Пусть кривая Γ =
= {~r =~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно дифференцируема.
Ранее было установлено, что непрерывно дифференци-
руемая кривая спрямляема (имеет длину) и что производ-
ная переменной длины дуги s(t) этой кривой
s
0
(t) = |~r
0
(t)|.
242                       Глава 14. Определенный интеграл

Тогда
    τ     i                                τ                    i
  1X   2                         ∗       1X
      mi ∆αi = µG∗ (τ ) 6 µG 6 µG (τ ) =     Mi2 ∆αi .
  2                                      2
          i=1                                                  i=1
Устремляя |τ | → 0, получаем отсюда, что
                         1 β 2
                           Z
                    µG =      r (θ) dθ.
                         2 α
(3) Объем тела вращения.         Пусть функция f непре-
рывна и неотрицательна на [a, b], тело Ω ⊂ R3 образовано
вращением криволинейной трапеции (1) вокруг оси Ox.
   Пусть τ = {xi }i0τ — разбиение отрезка [a, b], mi =
= min f , Mi = max f ,
  [xi−1 ,xi ]               [xi−1 ,xi ]
                    iτ
                    [
      Ω∗ (τ ) =           {(x, y, z) : xi−1 6 x 6 xi , y 2 + z 2 6 m2i },
                    i=1
                    iτ
                    [
      Ω∗ (τ ) =          {(x, y, z) : xi−1 6 x 6 xi , y 2 + z 2 6 Mi2 }.
                   i=1
Тогда
          iτ
          X                                                    iτ
                                                               X
                                                           ∗
      π         m2i ∆xi   = µΩ∗ (τ ) 6 µΩ 6 µΩ (τ ) = π              Mi2 ∆xi .
          i=1                                                  i=1
Устремляя |τ | → 0, получаем отсюда, что
                           Z b
                    µΩ = π     f 2 (x) dx.
                                             a

(4) Вычисление длины кривой.             Пусть кривая Γ =
= {~r = ~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно дифференцируема.
    Ранее было установлено, что непрерывно дифференци-
руемая кривая спрямляема (имеет длину) и что производ-
ная переменной длины дуги s(t) этой кривой
                                     s0 (t) = |~r0 (t)|.

Страницы