Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.6. Приложения определенного интеграла 243
Пусть S — длина кривой Γ. Тогда
S = s(b) − s(a) =
Z
b
a
s
0
(t) dt =
Z
b
a
|~r
0
(t)|dt =
=
Z
b
a
p
x
02
(t) + y
02
(t) + z
02
(t) dt.
Если Γ — плоская кривая, заданная уравнением Γ =
= {(x, f(x)), a 6 x 6 b}, то ее длина
S =
Z
b
a
p
1 + (f
0
(x))
2
dx.
(5) Площадь поверхности вращения. Пусть f непре-
рывно дифференцируема и неотрицательна на [a, b]. Пусть
S — поверхность, образованная вращением кривой Γ =
= {(x, f(x)), a 6 x 6 b}, т. е. графика функции f, вокруг
оси Ox. Площадь ее (определение которой будет дано ниже)
обозначим символом me s S.
Пусть τ = {x
i
}
i
τ
0
, a = x
0
< x
1
< . . . < x
i
τ
= b —
разбиение отрезка [a, b]. Построим вписанную в Γ лома-
ную Γ(τ), соединив отрезками последовательно точки кри-
вой Γ: (x
i
, f(x
i
)), i = 0, 1, . . . , i
τ
. Поверхность, образо-
ванную вращением ломаной Γ(τ ) вокруг оси Ox, обозначим
через S(τ ). Она представляет собой объединение боковых
поверхностей усеченных конусов или цилиндров, площади
которых известны из курса элементарной геометрии. По-
этому площадь S(τ) равна
mes S(τ ) = π
i
τ
X
i=1
(f(x
i−1
) + f(x
i
))l
i
,
где
l
i
=
p
(x
i
− x
i−1
)
2
+ (f(x
i
) − f(x
i−1
))
2
=
=
s
1 +
f(x
i
) − f(x
i−1
)
∆x
i
2
∆x
i
=
p
1 + (f
0
(ξ
i
))
2
∆x
i
, (2)
         § 14.6. Приложения определенного интеграла                   243

Пусть S — длина кривой Γ. Тогда
                  Z b            Z b
S = s(b) − s(a) =      0
                      s (t) dt =     |~r0 (t)| dt =
                   a              a
                                 Z bp
                               =         x02 (t) + y 02 (t) + z 02 (t) dt.
                                         a
   Если Γ — плоская кривая, заданная уравнением Γ =
= {(x, f (x)), a 6 x 6 b}, то ее длина
                        Z bp
                   S=         1 + (f 0 (x))2 dx.
                            a


(5) Площадь поверхности вращения. Пусть f непре-
рывно дифференцируема и неотрицательна на [a, b]. Пусть
S — поверхность, образованная вращением кривой Γ =
= {(x, f (x)), a 6 x 6 b}, т. е. графика функции f , вокруг
оси Ox. Площадь ее (определение которой будет дано ниже)
обозначим символом mes S.
   Пусть τ = {xi }i0τ , a = x0 < x1 < . . . < xiτ = b —
разбиение отрезка [a, b]. Построим вписанную в Γ лома-
ную Γ(τ ), соединив отрезками последовательно точки кри-
вой Γ: (xi , f (xi )), i = 0, 1, . . . , iτ . Поверхность, образо-
ванную вращением ломаной Γ(τ ) вокруг оси Ox, обозначим
через S(τ ). Она представляет собой объединение боковых
поверхностей усеченных конусов или цилиндров, площади
которых известны из курса элементарной геометрии. По-
этому площадь S(τ ) равна
                                iτ
                                X
               mes S(τ ) = π          (f (xi−1 ) + f (xi ))li ,
                                i=1
где
    p
li = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 =
    s
           f (xi ) − f (xi−1 ) 2
                             
                                         p
  = 1+                           ∆xi = 1 + (f 0 (ξi ))2 ∆xi ,         (2)
                   ∆xi

Страницы