Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 245 стр.

             § 14.7. Несобственные интегралы               245

         § 14.7. Несобственные интегралы
   Определение 1. Пусть функция f : [a, b) → R, b 6 +∞,
интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b0 ] ⊂ [a, b).
   Символ            Z         b
                                   f (x) dx                 (1)
                           a
называется несобственным интегралом (Римана) по полу-
интервалу [a, b). Говорят, что несобственный интеграл (1)
сходится, и пишут
              Z b                  Z b0
                  f (x) dx B 0 lim      f (x) dx,     (2)
                a                  b →b−0 a

если указанный предел существует, и что несобственный
интеграл (1) расходится — в противном случае (здесь и
далее символ +∞ − 0 равнозначен символу +∞).
     Таким образом, в случае сходимости несобственным ин-
тегралом называют не только символ, но и число.
     Сравним понятия интеграла Римана и несобственного
интеграла Римана. Если b = +∞, то функция f задана на
бесконечном промежутке, для которого интеграл Римана
не определен, в то время, как несобственный интеграл (2)
может существовать. Если же b < +∞, а функция f не-
ограничена на [a, b), то интеграл Римана по [a, b] не суще-
ствует, в то время как несобственный интеграл (2) может
существовать.
     Если функция f интегрируема по Риману по отрезку
[a, b], то сходится и несобственный интеграл (2) по [a, b) и
оба этих интеграла равны. Это следует из непрерывности
R b0                        0
 a f (x) dx как функции b в силу теоремы 14.4.1.
     Упражнение 1. Доказать, что если функция ограни-
чена на отрезке [a, b] и интегрируема по Риману на ∀ [a, b0 ] ⊂
⊂ [a, b), то она интегрируема по Риману по [a, b], и, следо-
вательно, ее интеграл Римана по [a, b] и несобственный ин-
теграл по [a, b) совпадают.