Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 246 стр.

246                Глава 14. Определенный интеграл

   У к а з а н и е. Воспользоваться критерием инте-
грируемости.
   Таким образом, понятие несобственного интеграла
шире понятия интеграла Римана.       R∞
   Пример 1. Несобственный интеграл 1 xdxα сходится
при α > 1 и расходится при α 6 1.
    Теорема 1 (критерий Коши сходимости несоб-
ственного интеграла). Пусть функция f интегриру-
ема на любом отрезке [a, b0 ] ⊂ [a, b). Тогда для сходимо-
сти несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие Коши
                        Z b00
∀ ε > 0 ∃ bε ∈ [a, b) :       f (x) dx < ε ∀ b0 , b00 ∈ [bε , b). (3)
                              b0

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость несобственного ин-
теграла (1) по определению   R x равносильна существованию
предела функции F (x) = a f (t) dt при x → b − 0, что рав-
носильно выполнению условия Коши для F . Последнее же
совпадает с (3).
   Сходимость несобственного интеграла (1) равносильна
                                              Rb
сходимости несобственного интеграла a∗ f (x) dx при ка-
ком-либо a∗ ∈ [a, b). Это сразу следует из критерия Коши,
поскольку условия Коши для этих двух несобственных ин-
тегралов очевидным образом равносильны.
   С помощью предельного перехода при b0 → b−0 на несоб-
ственные интегралы переносится ряд свойств определен-
ного интеграла.
    1.◦ Пусть несобственный интеграл (1) сходится. Тогда
        Z b            Z a∗            Z b
            f (x) dx =      f (x) dx +     f (x) dx ∀ a∗ ∈ [a, b).
             a            a              a∗
                                            Rb
      2.◦   Пусть несобственные интегралы a f (x) dx,
            Rb
             a g(x) dx сходятся. Тогда при λ, µ ∈ R сходится и