Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 248 стр.

248                 Глава 14. Определенный интеграл

   Покажем лишь, как из сходимости интеграла, стоящего
в правой части, вытекает сходимость интеграла, стоящего
в левой части. Пусть ε > 0. Тогда существует
                Z β 00
  bε ∈ [α, β) :        f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt < ε ∀ β 0 , β 00 ∈ (βε , b).
                      β0

  Положим bε B ϕ(βε ). Тогда по теореме Коши о проме-
жуточном значении
 ∀ b0 , b00 ∈ (bε , b) ∃ β 0 , β 00 ∈ (βε , b) : ϕ(β 0 ) = b0 , ϕ(β 00 ) = b00 .
   Следовательно,
  Z b00            Z        β 00
        f (x) dx =                 f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt < ε ∀ b0 , b00 ∈ (βε , b).
      b0                   β0
                     Rb
   По критерию Коши a f (x) dx сходится.
   Изучим теперь несобственные интегралы от неотрица-
тельных функций.
   Теорема 2. Пусть f > 0 на [a, b). Для сходимости
                            Rb
несобственного интеграла a f (x) dx необходимо и доста-
точно, чтобы
                 Z b0
           ∃M :       f (x) dx 6 M ∀ b0 ∈ [a, b).
                           a
                                          R b0
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Интеграл a f (x) dx как функ-
ция
Rb     b0 возрастает.        Поэтому сходимость интеграла
 a f (x) dx   (т. е. существование    конечного предела этой
                   0
функции при b → b − 0) равносильна ограниченности ин-
          R b0
теграла a f (x) dx как функции b0 .
     Теорема 3 (сравнения). Пусть функции f , g инте-
грируемы на любом отрезке [a, b0 ] ⊂ [a, b) и 0 6 f 6 g на
[a, b). Тогда
                   Rb                            Rb
     1.◦ сходимость a g(x) dx влечет сходимость a f (x) dx;