Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.7. Несобственные интегралы 249
2.
◦
расходимость
R
b
a
f(x) dx влечет расходимость
R
b
a
g(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть сходится
R
b
a
g(x) dx.
Тогда по теореме 2
∃M :
Z
b
0
a
f(x) dx 6
Z
b
0
a
g(x) dx 6 M ∀b
0
∈ [a, b).
По теореме 2
R
b
a
f(x) dx сходится.
2
◦
. Расходимость
R
b
a
g(x) dx легко доказывается от про-
тивного.
Следствие 1. Пусть функции f, g интегрируемы на
∀[a, b
0
] ⊂ [a, b) и f > 0, g > 0 на [a, b). Пусть еще
∃ lim
x→b−0
f(x)
g(x)
= k ∈ (0, +∞).
Тогда интегралы
R
b
a
f(x) dx и
R
b
a
g(x) dx сходятся или рас-
ходятся одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы ∃a
∗
∈
∈ [a, b):
k
2
g(x) 6 f(x) 6 2kg(x) при x ∈ [a
∗
, b). В силу
свойства 2
◦
несобственных интегралов и теоремы 3 сходи-
мость интегралов
Z
b
a
∗
g(x) dx и
Z
b
a
∗
f(x) dx
одновременная. Теперь остается лишь учесть, что сходи-
мость последних двух интегралов не зависит от выбора a
∗
∈
∈ [a, b).
Упражнение 2. Обобщить теорему 3, заменив в ее
условии 0 6 f 6 g на [a, b) на
f > 0, g > 0, f(x) = O(g(x)) при x → b − 0.
              § 14.7. Несобственные интегралы                    249
                            Rb
   2.◦ расходимость           a   f (x) dx влечет расходимость
       Rb
        a g(x) dx.
                                                     Rb
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть сходится a g(x) dx.
Тогда по теореме 2
            Z b0             Z b0
    ∃M :         f (x) dx 6       g(x) dx 6 M ∀ b0 ∈ [a, b).
              a                     a
                  Rb
По теореме 2    f (x) dx сходится.
                  a
                      Rb
   2◦ . Расходимость a g(x) dx легко доказывается от про-
тивного.

    Следствие 1. Пусть функции f , g интегрируемы на
∀ [a, b0 ] ⊂ [a, b) и f > 0, g > 0 на [a, b). Пусть еще
                      f (x)
                      ∃ lim = k ∈ (0, +∞).
                x→b−0 g(x)
                 Rb          Rb
Тогда интегралы a f (x) dx и a g(x) dx сходятся или рас-
ходятся одновременно.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы ∃ a∗ ∈
∈ [a, b): k2 g(x) 6 f (x) 6 2kg(x) при x ∈ [a∗ , b). В силу
свойства 2◦ несобственных интегралов и теоремы 3 сходи-
мость интегралов
                  Z b              Z b
                      g(x) dx и        f (x) dx
                       a∗                  a∗
одновременная. Теперь остается лишь учесть, что сходи-
мость последних двух интегралов не зависит от выбора a∗ ∈
∈ [a, b).
    Упражнение 2. Обобщить теорему 3, заменив в ее
условии 0 6 f 6 g на [a, b) на
     f > 0,    g > 0,       f (x) = O(g(x)) при x → b − 0.

Страницы