Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.7. Несобственные интегралы 251
R
b
a
f(x) dx сходится, и пишут
Z
b
a
f(x) dx B lim
a
0
→a+0
Z
b
a
0
f(x) dx,
если этот предел существует, и что несобственный инте-
грал
R
b
a
f(x) dx расходится — в противном случае.
Пример 2.
R
1
0
dx
x
α
сходится при α < 1 и расходится при
α > 1.
Определение 4. Пусть f : (a, b) → R, −∞ 6 a < b 6 +
+∞, интегрируема по Риману на любом отрезке [a
0
, b
0
] ⊂
⊂ (a, b). Символ
R
b
a
f(x) dx называется несобственным ин-
тегралом (Римана) с особенностью в точках a и b (или с
особенностями на верхнем и нижнем пределе).
Говорят, что несобственный интеграл
R
b
a
f(x) dx схо-
дится, если сходится каждый из интегралов
Z
c
a
f(x) dx,
Z
b
c
f(x) dx, (6)
где c — какое-нибудь число интервала (a, b) (a < c < b).
При этом полагают по определению, что
Z
b
a
f(x) dx B
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx. (7)
Если же хотя бы один из интегралов (6) расходится, гово-
рят, что интеграл
R
b
a
f(x) dx расходится.
Сходимость интегралов (6) не зависит от выбора c ∈
∈ (a, b) (это установлено для второго из них и аналогично
может быть показано для первого). Правая часть (7) также
не зависит от выбора c, что следует при a < c < c
∗
< b из
равенства для определенных интегралов:
Z
c
a
0
f(x) dx +
Z
b
0
c
f(x) dx =
=
Z
c
a
0
f(x) dx+
Z
c
∗
c
f(x) dx+
Z
b
0
c
∗
f(x) dx =
Z
c
∗
a
0
f(x) dx+
Z
b
0
c
∗
f(x) dx.
                     § 14.7. Несобственные интегралы         251
Rb
 a    f (x) dx сходится, и пишут
                  Z b                  Z b
                      f (x) dx B 0 lim     f (x) dx,
                          a           a →a+0 a0
если Rэтот предел существует, и что несобственный инте-
       b
грал a f (x) dx расходится — в противном случае.
   Пример 2. 0 xdxα сходится при α < 1 и расходится при
                R1

α > 1.
   Определение 4. Пусть f : (a, b) → R, −∞ 6 a < b 6 +
+∞, интегрируема по Риману на любом отрезке [a0 , b0 ] ⊂
                 Rb
⊂ (a, b). Символ a f (x) dx называется несобственным ин-
тегралом (Римана) с особенностью в точках a и b (или с
особенностями на верхнем и нижнем пределе).
                                             Rb
   Говорят, что несобственный интеграл a f (x) dx схо-
дится, если сходится каждый из интегралов
                 Z c           Z b
                     f (x) dx,     f (x) dx,          (6)
                              a           c
где c — какое-нибудь число интервала (a, b) (a < c < b).
   При этом полагают по определению, что
          Z b            Z c            Z b
              f (x) dx B     f (x) dx +     f (x) dx.   (7)
                 a                a               c
Если же хотя бы один из интегралов (6) расходится, гово-
                       Rb
рят, что интеграл a f (x) dx расходится.
    Сходимость интегралов (6) не зависит от выбора c ∈
∈ (a, b) (это установлено для второго из них и аналогично
может быть показано для первого). Правая часть (7) также
не зависит от выбора c, что следует при a < c < c∗ < b из
равенства для определенных интегралов:
Z c            Z b0
    f (x) dx +      f (x) dx =
 a0                   c
     Z   c          Z c∗      Z b0        Z c∗        Z b0
=          f (x) dx+ f (x) dx+ f (x) dx =    f (x) dx+ f (x) dx.
      a0              c           c∗              a0   c∗

Страницы