Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.7. Несобственные интегралы 253
Установим два признака сходимости несобственного ин-
теграла от произведения двух функций:
Z
∞
a
f(x)g(x) dx. (8)
Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть
1.
◦
функция f непрерывна и имеет ограниченную пер-
вообразную на [a, +∞);
2.
◦
функция g непрерывно дифференцируема и моно-
тонна на [a, +∞);
3.
◦
g(x) → 0 при x → +∞.
Тогда интеграл (8) сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F — первообразная
для f. Интегрируя по частям произведение fg на отрезке
[a, b], имеем
Z
b
a
f(x)g(x) dx =
=
Z
b
a
F
0
(x)g(x) dx = F (x)g(x)
b
a
−
Z
b
a
F (x)g
0
(x) dx. (9)
Уменьшаемое в правой части стремится, очевидно, к пре-
делу при b → +∞. Вычитаемое стремится к абсолютно
сходящемуся интегралу. В самом деле, положив M =
= sup
[a,∞)
|F | < +∞, имеем
Z
∞
a
|F (f)g
0
(x)|dx 6 M
Z
∞
a
|g
0
(x)|dx = −M
Z
∞
a
g
0
(x) dx
=
= −M
g(x)
+∞
a
= M |g(a)|.
Поэтому правая часть (9), а вместе с ней и левая стремятся
к пределу при b → +∞. Это и означает, что интеграл (8)
сходится.
Теорема 6 (признак Абеля). Пусть
1.
◦
функция f непрерывна на [a, +∞) и сходится инте-
грал
R
∞
a
f(x) dx;
                     § 14.7. Несобственные интегралы                          253

   Установим два признака сходимости несобственного ин-
теграла от произведения двух функций:
                    Z ∞
                        f (x)g(x) dx.               (8)
                                a

     Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть
     1.◦ функция f непрерывна и имеет ограниченную пер-
         вообразную на [a, +∞);
     2.◦ функция g непрерывно дифференцируема и моно-
         тонна на [a, +∞);
     3.◦ g(x) → 0 при x → +∞.
     Тогда интеграл (8) сходится.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F — первообразная
для f . Интегрируя по частям произведение f g на отрезке
[a, b], имеем
Z b
     f (x)g(x) dx =
  a      Z b                          b  Z b
              0
      =      F (x)g(x) dx = F (x)g(x) −      F (x)g 0 (x) dx. (9)
             a                                    a    a
Уменьшаемое в правой части стремится, очевидно, к пре-
делу при b → +∞. Вычитаемое стремится к абсолютно
сходящемуся интегралу. В самом деле, положив M =
= sup |F | < +∞, имеем
     [a,∞)
Z    ∞                          Z       ∞                     Z   ∞
                 0                           0
         |F (f )g (x)| dx 6 M               |g (x)| dx = −M           g 0 (x) dx =
 a                                  a                           a
                                                              +∞
                                                 = −M g(x)    a
                                                                      = M |g(a)|.
Поэтому правая часть (9), а вместе с ней и левая стремятся
к пределу при b → +∞. Это и означает, что интеграл (8)
сходится.
      Теорема 6 (признак Абеля). Пусть
      1.◦ функция
              R ∞ f непрерывна на [a, +∞) и сходится инте-
          грал a f (x) dx;

Страницы