Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 255 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.8. Приближение интегрируемых функций 255
не является ограниченной. Имеем
F (kπ) =
Z
kπ
π
|sin x|
x
dx =
k−1
X
j=1
Z
(j+1)π
jπ
|sin x|
x
dx >
>
k−1
X
j=1
1
(j + 1)π
Z
(j+1)π
jπ
|sin x|dx =
k−1
X
j=1
2
(j + 1)π
=
=
2
π
k−1
X
j=1
Z
j+2
j+1
1
j + 1
dx >
2
π
k−1
X
j=1
Z
j+2
j+1
dx
x
=
=
2
π
Z
k+1
2
dx
x
→ ∞ при k → ∞.
Следовательно, по теореме 2 интеграл
R
∞
1
|sin x|
x
dx расхо-
дится.
З а м е ч а н и е. При доказательстве признака
Дирихле было применено интегрирование по частям. Этот
прием в данном случае, как говорят, «улучшает сходимость
интеграла». С его помощью в случае только что рассмо-
тренного примера вместо интеграла
R
∞
1
sin x
x
dx мы полу-
чили интеграл
R
∞
1
cos x
x
2
dx, у которого знаменатель быстро
стремится к нулю. В общем же случае доказательства при-
знака Дирихле вместо сходящегося интеграла получили аб-
солютно сходящийся.
§ 14.8. Приближение интегрируемых функций
ступенчатыми и непрерывными
Определение 1. Функция h: [a, b] → R называется
ступенчатой (кусочно постоянной) на [a, b], если суще-
ствует разбиение {a
i
}
k
0
, a = a
0
< a
1
< . . . < a
k
= b такое,
что f постоянна на каждом интервале (a
i−1
, a
i
).
Ступенчатые функции кусочно непрерывны и, следова-
тельно, интегрируемы на [a, b].
       § 14.8. Приближение интегрируемых функций                              255

не является ограниченной. Имеем
         Z kπ               k−1 Z (j+1)π
              | sin x|      X            | sin x|
F (kπ) =               dx =                       dx >
          π       x              jπ          x
                                      j=1
          k−1               Z     (j+1)π                   k−1
          X         1                                      X         2
      >                                    | sin x| dx =                  =
                (j + 1)π      jπ                                 (j + 1)π
          j=1                                              j=1
                    k−1 Z   j+2            j+2      k−1 Z
                2   X    1         2            dx  X
           =                  dx >                   =
                π       j+1        π             x
             j=1 j+1                 j=1 j+1

                             2 k+1 dx
                               Z
                          =             → ∞ при k → ∞.
                             π 2     x
                                         R ∞ | sin x|
Следовательно, по теореме 2 интеграл 1           x    dx расхо-
дится.
   З а м е ч а н и е. При доказательстве признака
Дирихле было применено интегрирование по частям. Этот
прием в данном случае, как говорят, «улучшает сходимость
интеграла». С его помощью в случаеR только что рассмо-
                                        ∞
тренного примера вместо интеграла 1 sinx x dx мы полу-
               R ∞ cos x
чили интеграл 1      2   dx, у которого знаменатель быстро
                             x
стремится к нулю. В общем же случае доказательства при-
знака Дирихле вместо сходящегося интеграла получили аб-
солютно сходящийся.

 § 14.8. Приближение интегрируемых функций
         ступенчатыми и непрерывными
   Определение 1. Функция h: [a, b] → R называется
ступенчатой (кусочно постоянной) на [a, b], если суще-
ствует разбиение {ai }k0 , a = a0 < a1 < . . . < ak = b такое,
что f постоянна на каждом интервале (ai−1 , ai ).
   Ступенчатые функции кусочно непрерывны и, следова-
тельно, интегрируемы на [a, b].

Страницы