Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

256 Глава 14. Определенный интеграл
Теорема 1. Пусть функция f интегрируема на [a, b].
Тогда для всякого ε > 0 существует такая ступенчатая на
[a, b] функция h = h
ε
, что
Z
b
a
|f(x) − h(x)|dx < ε. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть τ = {x
i
}
i
τ
0
и
i
τ
P
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
— интегральная сумма Римана. Рассмотрим ступенчатую
функцию
h(x) =
(
f(ξ
i
) при x ∈ (x
i−1
, x
i
),
произвольна при x = x
i
(i = 0, 1, . . . , i
τ
).
Тогда
Z
b
a
|f(x)−h(x)|dx =
i
τ
X
i=1
Z
x
i+1
x
i
|f(x)−f(ξ
i
)|dx
i
6
i
τ
X
i=1
w
i
(f)∆x
i
,
где w
i
(f) — колебание функции f на отрезке [x
i−1
, x
i
].
В силу критерия интегрируемости правая часть послед-
него неравенства меньше наперед заданного числа ε > 0,
если мелкость |τ | разбиения τ достаточно мала. Теорема
доказана.
Левую часть неравенства (1) называют приближением
в среднем функции f ступенчатой функцией h. Саму тео-
рему 1 можно переформулировать так:
Интегрируемую на [a, b] функцию можно с любой точно-
стью приблизить в среднем на [a, b] ступенчатой функцией.
Теорема 2. Пусть функция f интегрируема на [a, b].
Тогда для всякого ε > 0 существует такая непрерывная на
[a, b] функция ϕ, что
Z
b
a
|f(x) − ϕ(x)|dx < ε.
256                Глава 14. Определенный интеграл

     Теорема 1. Пусть функция f интегрируема на [a, b].
Тогда для всякого ε > 0 существует такая ступенчатая на
[a, b] функция h = hε , что
                  Z b
                       |f (x) − h(x)| dx < ε.       (1)
                       a

                                                               iτ
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть τ = {xi }i0τ и
                                                               P
                                                                     f (ξi )∆xi
                                                               i=1
— интегральная сумма Римана. Рассмотрим ступенчатую
функцию
          (
           f (ξi )      при x ∈ (xi−1 , xi ),
   h(x) =
           произвольна при x = xi (i = 0, 1, . . . , iτ ).
Тогда
Z b                   iτ Z
                      X           xi+1                        iτ
                                                              X
    |f (x)−h(x)| dx =                 |f (x)−f (ξi )| dxi 6         wi (f )∆xi ,
 a                         i=1   xi                           i=1
где wi (f ) — колебание функции f на отрезке [xi−1 , xi ].
   В силу критерия интегрируемости правая часть послед-
него неравенства меньше наперед заданного числа ε > 0,
если мелкость |τ | разбиения τ достаточно мала. Теорема
доказана.
   Левую часть неравенства (1) называют приближением
в среднем функции f ступенчатой функцией h. Саму тео-
рему 1 можно переформулировать так:
   Интегрируемую на [a, b] функцию можно с любой точно-
стью приблизить в среднем на [a, b] ступенчатой функцией.
     Теорема 2. Пусть функция f интегрируема на [a, b].
Тогда для всякого ε > 0 существует такая непрерывная на
[a, b] функция ϕ, что
                   Z b
                       |f (x) − ϕ(x)| dx < ε.
                       a

Страницы