Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 258 стр.

258            Глава 14. Определенный интеграл

   Теоремы 1, 2 обобщаются на случай функций f , инте-
грируемых в несобственном смысле.
   Определение 2. Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞. Функция f
называется абсолютно интегрируемой на интервале (a, b),
если существует конечное число точек {ci }, a = c0 < c1 <
< . . . < ck = b таких, что
    1.◦ функция f интегрируема по Риману на каждом от-
        резке [α, β] ⊂ (a, b), не содержащем точек ci ;
      ◦
                                              Rb
    2. сходится несобственный интеграл a |f (x)| dx, по-
        нимаемый как несобственный интеграл с особенно-
        стями в точках c0 , c1 , . . . , ck .
   Заметим, что в силу теоремы 14.7.4 определение 2 оста-
нется эквивалентным, Rесли условие 1◦ заменить условием
                            b
сходимости интеграла a f (x) dx.
   Определение 3. Функция f : (−∞, +∞) → R назы-
вается финитной, если она равна нулю вне некоторого от-
резка.
   Определение 4. Функция h: (−∞, +∞) → R называ-
ется финитной ступенчатой функцией, если существует
такой отрезок [a, b], что h — ступенчатая функция на [a, b]
и h = 0 вне [a, b].

   Теорема 3. Пусть f абсолютно интегрируема на (a, b),
−∞ 6 a < b 6 +∞. Тогда для любого ε > 0 существует
финитная ступенчатая функция h такая, что
                Z b
                    |f (x) − h(x)| dx < ε.
                   a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности бу-
дем считать, что (a, b) = (−∞, +∞). В самом деле, если
это не так, то функцию f можно доопределить нулем вне
интервала (a, b), после чего она станет абсолютно интегри-
руемой на (−∞, +∞).