Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 260 стр.

260              Глава 14. Определенный интеграл

ствует финитная непрерывная функция ϕ такая, что
                Z b
                    |f (x) − ϕ(x)| dx < ε.                    (5)
                      a
      Д о к а з а т е л ь с т в о предоставляется читателю.
   Теорема 4. Каждая абсолютно интегрируемая на
(−∞, +∞) функция является непрерывной в среднем от-
носительно сдвига, т. е. обладает свойством
                Z +∞
            lim       |f (x + η) − f (x)| dx = 0.
               η→0 −∞

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f абсолютно интегриру-
ема на (−∞, +∞). Зададим произвольно ε > 0. Тогда су-
ществует финитная непрерывная функция ϕ, для которой
при (a, b) = (−∞, +∞) выполняется (5). Пусть ϕ = 0 вне
отрезка [A, B]. По теореме Кантора, она равномерно непре-
рывна на отрезке [A − 1, B + 1], а значит, и на (−∞, +∞).
Следовательно, существует ηε ∈ (0, 1) такое, что
                                   ε
       |ϕ(x + η) − ϕ(x)| <                   ∀ η : |η| 6 ηε .
                              B−A+2
Отсюда и из (5) следует, что при |η| 6 ηε
Z ∞                           Z ∞
    |f (x + η) − f (x)| dx 6        |f (x + η) − ϕ(x + η)| dx+
 −∞                             −∞
  Z ∞                        Z ∞
+    |ϕ(x+η)−ϕ(x)| dx+           |f (x)−ϕ(x)| dx < ε+ε+ε = 3ε.
      −∞                     −∞
Это означает, что f непрерывна в среднем относительно
сдвига.
   Упражнение 1. Доказать теорему 4, опираясь на воз-
можность приближения функции f финитной ступенчатой
функцией h и легко проверяемую непрерывность в среднем
относительно сдвига функции h.