Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

262 Глава 15. Числовые ряды
Пример 2. Ряд
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .
расходится.
Теорема 1. Необходимым условием сходимости ряда
является стремление к нулю его общего члена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится и сумма
его равна S. Тогда
S
n
→ S, S
n−1
→ S при n → ∞.
Следовательно,
a
n
= S
n
− S
n−1
→ 0 при n → ∞.
Стремление к нулю общего члена ряда, являясь необ-
ходимым, не является достаточным условием сходимости
ряда, что можно увидеть на следующем примере.
Пример 3. Ряд
∞
P
k=1
1
k
(называемый гармоническим ря-
дом) расходится. В самом деле,
S
2n
− S
n
=
2n
X
k=1
1
k
>
1
2n
n = 2 6→ 0 при n → ∞,
что противоречит сходимости ряда, в случае которой по-
следовательности {S
n
} и {S
2n
} сходились бы к одному и
тому же числу (сумме ряда), а их разность — к нулю.
Теорема 2 (критерий Кош и). Для сходимости
ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие Коши:
∀ε > 0 ∃n
ε
∈ N :
n+p
X
k=n+1
a
k
< ε ∀n > n
ε
, ∀p ∈ N.
262                 Глава 15. Числовые ряды

      Пример 2. Ряд
                  1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
расходится.

   Теорема 1. Необходимым условием сходимости ряда
является стремление к нулю его общего члена.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится и сумма
его равна S. Тогда
              Sn → S,    Sn−1 → S       при n → ∞.
Следовательно,
              an = Sn − Sn−1 → 0        при n → ∞.
   Стремление к нулю общего члена ряда, являясь необ-
ходимым, не является достаточным условием сходимости
ряда, что можно увидеть на следующем примере.
                   ∞
   Пример 3. Ряд
                   P  1
                      k (называемый гармоническим ря-
                        k=1
дом) расходится. В самом деле,
                  2n
                  X  1    1
       S2n − Sn =      >    n = 2 6→ 0 при n → ∞,
                     k   2n
                  k=1
что противоречит сходимости ряда, в случае которой по-
следовательности {Sn } и {S2n } сходились бы к одному и
тому же числу (сумме ряда), а их разность — к нулю.

   Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости
ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие Коши:
                              n+p
                              X
  ∀ε > 0    ∃ nε ∈ N :              ak < ε ∀ n > nε ,   ∀ p ∈ N.
                          k=n+1

Страницы