Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 263 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.1. Сходимость числового ряда 263
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как
n+p
X
k=n+1
a
k
= S
n+p
− S
n
,
то теорема 2 сразу следует из критерия Коши сходимости
последовательностей.
Упражнение 1. Доказать теорему 1 с помощью кри-
терия Коши.
Упражнение 2. Доказать с помощью критерия Коши
расходимость гармонического ряда.
Определение 2. Числовой ряд
a
n+1
+ a
n+2
+ . . .
∞
X
k=n+1
a
k
!
называется остатком ряда (1) после n-го члена.
Сходимость ряда (1) равносильна сходимости какого-
либо из его остатков, что сразу с ледует из критерия Коши.
Теорема 3. Пусть сходятся ряды
∞
P
k=1
a
k
и
∞
P
k=1
b
k
. Тогда
при ∀λ, µ ∈ R сходится ряд
∞
P
k=1
(λa
k
+µb
k
) и сумма его равна
∞
X
k=1
(λa
k
+ µb
k
) = λ
∞
X
k=1
a
k
+ µ
∞
X
k=1
b
k
.
Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из равенства для
частичных сумм
n
X
k=1
(λa
k
+ µb
k
) = λ
n
X
k=1
a
k
+ µ
n
X
k=1
b
k
и предельного перехода в нем при n → ∞.
            § 15.1. Сходимость числового ряда                            263

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как
                       n+p
                       X
                             ak = Sn+p − Sn ,
                     k=n+1

то теорема 2 сразу следует из критерия Коши сходимости
последовательностей.
   Упражнение 1. Доказать теорему 1 с помощью кри-
терия Коши.
   Упражнение 2. Доказать с помощью критерия Коши
расходимость гармонического ряда.
   Определение 2. Числовой ряд
                                             ∞
                                                         !
                                             X
              an+1 + an+2 + . . .                   ak
                                            k=n+1

называется остатком ряда (1) после n-го члена.
   Сходимость ряда (1) равносильна сходимости какого-
либо из его остатков, что сразу следует из критерия Коши.
                                              ∞
                                              P              ∞
                                                             P
   Теорема 3. Пусть сходятся ряды                   ak и           bk . Тогда
                                              k=1            k=1
                                ∞
                                P
при ∀ λ, µ ∈ R сходится ряд          (λak +µbk ) и сумма его равна
                               k=1
            ∞
            X                        ∞
                                     X              ∞
                                                    X
                  (λak + µbk ) = λ         ak + µ         bk .
            k=1                      k=1            k=1


   Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из равенства для
частичных сумм
            n
            X                        n
                                     X              n
                                                    X
                  (λak + µbk ) = λ         ak + µ         bk
            k=1                      k=1            k=1
и предельного перехода в нем при n → ∞.

Страницы