Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 265 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами 265
2.
◦
Если бы ряд
∞
P
k=1
b
k
сходился, то по доказанному в
первой части теоремы сходился бы и ряд
∞
P
k=1
a
k
.
Следствие 1. Пусть a
k
> 0, b
k
> 0, ∃ lim
k→∞
a
k
b
k
= L ∈
∈ (0, ∞). Тогда ряды
∞
P
k=1
a
k
,
∞
P
k=1
b
k
сходятся или расходятся
одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
∃k ∈ N :
1
2
Lb
k
6 a
k
6 2Lb
k
∀k > k
0
.
Тогда из теоремы 15.1.3 при λ = 0 и теоремы 2 следует,
что ряды
∞
P
k=k
0
a
k
,
∞
P
k=k
0
b
k
сходятся или расходятся одновре-
менно. Остается учесть, что сходимость ряда равносильна
сходимости какого-либо из его остатков.
Упражнение 1. Доказать, что если a
k
> 0, b
k
> 0,
a
k
= O(b
k
) при k → ∞, то из сходимости ряда
∞
P
k=1
b
k
следует
сходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
.
Теорема 3 (интегральный признак сходимости
ряда). Пусть f непрерывна и убывает к нулю на [1, +
+∞). Тогда ряд
∞
P
k=1
f(k) и интеграл
R
+∞
1
f(x) dx сходятся
или расходятся одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства
f(k) >
Z
k+1
k
f(x) dx > f(k + 1)
получаем, что
n
X
k=1
f(k) >
Z
n+1
1
f(x) dx >
n
X
k=1
f(k + 1) =
n+1
X
k=2
f(k). (2)
    § 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами                              265
                              ∞
   2.◦ Если бы ряд
                              P
                                     bk сходился, то по доказанному в
                              k=1
                                                                     ∞
                                                                     P
         первой части теоремы сходился бы и ряд                            ak .
                                                                     k=1

   Следствие 1. Пусть ak > 0, bk > 0, ∃ lim ab k = L ∈
                                          k→∞ k
                     ∞
                     P      ∞
                            P
∈ (0, ∞). Тогда ряды   ak ,   bk сходятся или расходятся
                               k=1      k=1
одновременно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о.
                       1
          ∃ k ∈ N : Lbk 6 ak 6 2Lbk ∀ k > k0 .
                       2
   Тогда из теоремы 15.1.3 при λ = 0 и теоремы 2 следует,
           P∞        ∞
                     P
что ряды        ak ,     bk сходятся или расходятся одновре-
            k=k0        k=k0
менно. Остается учесть, что сходимость ряда равносильна
сходимости какого-либо из его остатков.
   Упражнение 1. Доказать, что если ak > 0, bk > 0,
                                             ∞
                                             P
ak = O(bk ) при k → ∞, то из сходимости ряда   bk следует
                                                               k=1
                        ∞
                        P
сходимость ряда               ak .
                       k=1

   Теорема 3 (интегральный признак сходимости
ряда). Пусть f непрерывна и убывает к нулю на [1, +
               ∞
               P                 R +∞
+∞). Тогда ряд   f (k) и интеграл 1 f (x) dx сходятся
                        k=1
или расходятся одновременно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства
                        Z k+1
               f (k) >         f (x) dx > f (k + 1)
                                k
получаем, что
   Xn         Z        n+1                n
                                          X                   n+1
                                                              X
      f (k) >                f (x) dx >         f (k + 1) =         f (k).        (2)
   k=1             1                      k=1                 k=2

Страницы