Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 267 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами 267
Пример 2. Ряд
∞
P
k=1
ln
1 +
1
k
α
расходится при α 6 0,
т. к. его общий член не стремится к нулю. Этот ряд схо-
дится при α > 1 и расходится при 0 < α 6 1. В самом деле,
его сходимость при α > 0 эквивалентна сходимости ряда
∞
P
k=1
1
k
α
в силу следствия из теоремы 2, т. к. ln
1 +
1
k
α
∼
∼
1
k
α
при α > 0 и k → ∞. Остается сослаться на пример 1.
Упражнение 2. Пусть числа a
k
> 0 убывают
(a
k
> a
k+1
) и ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится. Доказать, что
a
k
= o
1
k
при k → ∞. (3)
У к а з а н и е. Воспользоваться оценкой снизу
разности частичных сумм ряда:
S
2n
− S
n
=
2n
X
k=n+1
a
k
> na
2n
.
Является ли условие (3) достаточным для сходимос ти
ряда?
Пример 3. Ряд
∞
X
k=0
q
k
(4)
сходится при 0 < q < 1 и расходится при q > 1.
В самом деле, при 0 < q < 1 q
k
6
1
k
2
∀k > k
0
. Тогда
в силу сходимости ряда
∞
P
k=1
1
k
2
и теоремы 2 ряд
∞
P
k=1
q
k
схо-
дится.
Если же q > 1, то ряд (4) расходится, т. к. его общий
член не стремится к нулю.
Заметим, что сходимость ряда (4) можно изучить, за-
писав его частичную сумму по формуле суммы геометри-
      § 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами        267
                          ∞            
                              ln 1 + k1α расходится при α 6 0,
                          P
      Пример 2. Ряд
                      k=1
т. к. его общий член не стремится к нулю. Этот ряд схо-
дится при α > 1 и расходится при 0 < α 6 1. В самом деле,
его сходимость при α > 0 эквивалентна сходимости ряда
 ∞                                                     
P     1 в силу следствия из теоремы 2, т. к. ln 1 + 1     ∼
       α                                              α
     k                                              k
k=1
∼ k1α при α > 0 и k → ∞. Остается сослаться на пример 1.
    Упражнение 2.       Пусть числа ak > 0 убывают
                   ∞
                   P
(ak > ak+1 ) и ряд   ak сходится. Доказать, что
                    k=1
                         
                         1
                 ak = o                 при k → ∞.            (3)
                         k
   У к а з а н и е. Воспользоваться оценкой снизу
разности частичных сумм ряда:
                                    2n
                                    X
                 S2n − Sn =               ak > na2n .
                                k=n+1

Является ли условие (3) достаточным для сходимости
ряда?
   Пример 3. Ряд
                       X∞
                          qk                    (4)
                                k=0
сходится при 0 < q < 1 и расходится при q > 1.
   В самом деле, при 0 < q < 1 q k 6 12 ∀ k > k0 . Тогда
                                      k
                         ∞                     ∞
в силу сходимости ряда
                        P   1 и теоремы 2 ряд P q k схо-
                             2
                              k=1
                                    k                   k=1
дится.
   Если же q > 1, то ряд (4) расходится, т. к. его общий
член не стремится к нулю.
   Заметим, что сходимость ряда (4) можно изучить, за-
писав его частичную сумму по формуле суммы геометри-

Страницы